The problem of reconstructing an unknown input of a parabolic equation is considered. Solving algorithm based on the constructions of feedback control theory and theory of ill-posed problems is stable with respect to informational noises and computational errors. ª A Ł Ł Ł Ł º ßØ ª aeŁº X (t) : X ! X (t 2 T ); f ( ) 2 L2(T ; X) (B 2 L(U ; X)), U ªŁº Æ ae # = const 2 (0; +1). º Æß ł Ł Ł (1), x(0) = x0; ß ae ß ˚ Œ Ł ae , º º Æßı x0 2 X; u( ) 2 L2(T ; U ) ae ø ae Ł ae C(T ; X) Ł (1). - aeae Ł ae aeº ø . ¨ ae Ł (1), Œ Øae Ł u( ) 2 P ( ) = fv( ) 2 L2(T ; U ) : v(t) 2 P Ł . . t 2 T g, P Œ ae . - ł Ł Ł (1) Œ Ł ae . ´ ŁaeŒ Ł i 2 T , i = i 1 + , 0 = 0, m = #, = #=m, Ł ae ae x( i) = x( i; 0; x0; u( )), . . ae ae Ł ae ß Ł º ß ih 2 X, Œ Copyright ⃝c by the paper's authors. Copying permitted for private and academic purposes. In: M.Yu. Filimonov, S.V. Kruglikov M.S. Blizorukova (eds.): Proceedings of the International Workshop on Information Technologies and Mathematical Modeling for Ecient Development of Arctic Zone (IT&MathAZ2018), Yekaterinburg, Russia, 19-21-April-2018, published at http://ceur-ws.org
x_ (t) = Ax(t) + Bu(t) + f (t); t 2 T = [0; #];
x(0) = x0; ªŁº Æ
ae ´ Ł . ˇ ae
Œ Ł ae Æ ºŁ aeŒ
øŁ º Œ Ł x(t) : T ! X; Ł u( ) 2 L1(T ; U ) Ł º ae
º ae
ae (X; j jX ) ß ae Ø º ª ß ºŁ
ø Ł ,B Øj jU Ł aeŒ º Ø ßı ºŁ ß
ª Ø ßØ Ł Ł Ł ae ae
(1) ßı ß ßØ ( ; )U ,
Ł x(t) = X (t)x0 +
X (t )fBu( ) + f ( )g d :
h j i x( i)jX ih; aeº Æ ł
Łx( ; 0; x0; u( )) 2 U ß Øae ß ß ae łŁÆŒ Ø h º Œº
Ł , ª ß ae Ł ae ß ae ae ae ı
Ł Ł (2) ß ª ih 2 (0;1) ºŁ Ł łŁÆŒŁ Ł Ł i, Łaeº h 2 (0;1) ı Œ Ł Ł . ˝ Æı Ł Œ ºª Ł Ł Ł aeŒ ª aeae º Ł Ł ae ª ı ª u( ).
` º ª , ıŁ, ºŁ ß Œ º ƺ Ł , Œº ß ae ª Ł Ł º ae Ł¿ Łı ae Łı ŁØ ae Œ Ł Œ Ł Ł Ł aeŁae ß. ˛ Łł Œ Œ aeı ł Ł aeae Ł Ø Ł, aeº ı , Œ ßØ
ae ŁŁ ae Ł ı ŁÆºŁ ª ß Łaeº Ł Ł ae ª ı ª ( Œ ae Œ ŁŁ) ae Ø Ø, Ł Ø º Ł ae Ł ae ª º Ø aeŁae ØM; ß Ø º . ´ º Øł Æ aeŁ º wh( ); º Ł ºŁ aeŁ º vh( ): ˇ aeae Ł ae ŒŁ Æ , Æß Ł ı ø ae ªº ae ŁŁ ŁÆºŁ Ł u( ): ¨ Œ, ł Ł Ł Œ ae Œ ŁŁ ae ø ae aeŁº ł Ł aeº øŁı ı : ) Ł ı ø ª ßÆ ae ª º Ø aeŁae ß ( ºŁM) Ł Æ) Ł ßÆ Œ Ł Ł º Ł vh( ) Ø º . ˇ ae ßÆ ae Øae f∆hg, h 2 (0;1), ÆŁ ŁØ Ł [1 4]. ´ ae
Øae Łu ( ) Ł Ł Æ Ø Œ Ł ºŁ ß º Ł º ª Œ Ł vh( ) º º ae ae Ł Øae Ł Œ T. ´ Œ ae ºŁ Œ Ł ¿
Ł (1), . . Æ ºŁ aeŒ ∆h = f h;igim=h0; h;0 = 0; h;i+1 = h;i + (h); (h) = m#h
w_h(t) = Awh(t) + Bvh(t) + f(t); wh(0) = 0h; t 2 T: ˇ ł Ł Ł (4), ß wh( ) = w( ;0;wh(0);vh( )) 2 C(T;X) aeº Æ
º Ł vh( ) 2 L1(T;U); Æ ł Ł Ł (4), . .
Ł t ∫ 0 wh(t) = X(t)wh(0) + X(t )fBvh( ) + f( )gd : Ł º (x( );h) Æ Ł º º
ae ae ı Œ ŁØ h(t) = ih 2 X; t 2 i = [ h;i; h;i+1); ŒŁı, ß ih ae (2) ( Ł i = h;i). ˇ ae ß º aeº ø aeº Ł . aeºŁ 1. ´ ae ae X Œ Ł º j jX j j2:
c1j j2 j jX c2j j2; c1;c2 = const 2 (0;+1); c1 < c2; Œ Ø º ª X(t) !- ŁaeaeŁ Ł :jX(t)xj2 exp(!t)jxj2 º º Æßı x 2 X. ˝ j j2 Œ ß aeŒ º ß Ł Ł ( ; )2: ´ º Øł , Œ Œ ae Ł , ß ae º ae ae X ae ae ß Œ ae ae X : ˝Ł aeŁ º ( ; )2Ł vh( ) uae(Œ) º Ł Ł X, ae ae ø ´ Œ Ł Ł Œº ª Ł Œ ŁT: !1(vh( );u( )) = 0maix#exp( 2! i) wh( i;0; 0h;vh( )) x( i;0;x0;u( )) 2X ; !2(vh( );u( )) = ∫ jvh(t)j2U dt
ju(t)j2U dt; i = h;i: 0 # # ∫ 0 ˙ ae x( ;0;x0;u( )) Ł wh( ;0; 0h;vh( )) ł Ł ae .
˚ Œ ae Ł ae Ł Ł ı, Æ Ł łŁı ae u( ) Œ T Œ ŁŁ !1( ) Ł !2( ) Ł (5) Ł (6) ae º ŁØ, ae ae Ł ßı ae ßı x( ). ¨ ß Ł aeº Ł, ŁØ (1) Ł (4), ß u( ) Ł vh( ) ae
Œ ae Œ Ł Ł Œº Łvh( ) ae . ˇ ae U(x( )) ae ae ı { ∫t } U(x( )) = u( ) 2 P( ) : x(t) = X(t)x0 + X(t )fBu( ) + f( )gd 8t 2 T ; Ł Ł Œ Ł j j2.
(5) (6) "h(t) = exp( 2!t)jwh(t) x(t)j22 + fjvh( )j2U ju( )j2U g d : ˇ Ł t 2 i, i 2 [0 : m 1], m = mh, Ł ae ae wh(t) = X (t i)wh( i) +
X (t )fBvh( ) + f ( )g d ; x(t) = X (t i)x( i) +
X (t Œ , ih: ºŁ (4) Łt 2 [ i; i+1): ˇ Øae Ł ª º Ł Ł wh( i) ae ae Ł wh( i+1) = wh( i+1; i; wh( i); vh( )): ª º Œ Ł Ł ae
U (x( )). ˚
ª , !2(vh( ); u( ))
(h); !1(vh( ); u( )) (h) + b2 (h); ª Æß (h) = b1(h2 + φ1(h) + (h)), b1 Ł b2
ß Łae ß Ł . ˜Œºae. ˇ ae h( ) 2 (x( ); h): ˛ ae
ß ,
"h( i+1)
exp( 2! i+1)jX ( i+1
i)(x( i)
wh( i))j22 + i + i +
fjv ( )j2U
h
ju( )j2U g d ;
(
X ( i+1
h )Bfv ( ) u( )g d i = k0 (h) exp( 2! i+1) jBfu( ) v ( )gj22 d ; (12) h i+1 ∫ i+1 ∫ (13) (14) (15) (17) ae = i+1 ∫ Ł ae aeı Ł ae
h v ( ) ! u( ) (u( ) = u( ; x( )))
L2(T ; U )
Ł h ! 0: Ł ) 2 + m ∑ i=0 Ł ß ß
Ł i+1 ∫ i "h( i) "h(0) + k3 (h)
( ih + (h)); "h( i)
b1(h2 + φ1(h) + (h)): h2 + (h) + φ1(h) (h)
Ł h ! 0: "h( i+1) "h( i) + k1 2(h) + (k2 + d) ih (h) "h( i) + k3 (h)( ih + (h)); i 2 [0 : m aeŁº (2) Ł aeº Ł 2 "h(0) k4h2. ¨ (17), ae aeº Ł 2, º Ł ae ıi 2 [0 : m] aeº
N min {2 ∑ vj(X ( i+1
j=1 ¨ 3.
ae
N vih = fv1hi; : : : ; vNhig; 2 ∑ vjhi(X ( i+1
j=1 ae i i i+1 ∫ { (
2 X ( i+1 i+1 ∫ { (
2 X ( i+1 i+1 ∫ { (
2 X ( i+1 i i+1 ∫ { (
2 X ( i+1 i
P Ł Ł P = ∑jN=1 !juj, !j 2 U , uj 2 R, ª
Ł Œ ae , º Ł u( ) u(t) = ∑jN=1 !juj(t). ´ aeº ae ae , ß Łaeº Łº u = fu1; : : : ; uN ) 2 P1 RN , P1
Ø ae Ł Ł (1) Ł ßÆŁ º Łvh( ) Ø ª ˜Œºae.
( ) = supt2[0; ] X (t) ∑jN=1 B!j ˇ ae u( ) ∑jN=1 B!j .
X Ł h ! 0+; (18) i+1 ∫ i ae
2 i=0
Œ Ł ı Œ º ª Ł (4) Ł X (t), t 2 T , Æß ø . ˇ Łº (19) (20) (21) i i i+1 ∫ {2(X( i+1 i)[ ih wh( i)];X( i+1 )Bu( ))2 ju( )j2U}d i+1 ∫ {2(X( i+1 i)[ ih wh( i)];X( i+1 )Bvh(s))2 jvh( )j2U}d i+1 ∫ {2( ih wh( i);Bu( ))2 ju( )j2U}d i+1 ∫ {2( ih wh( i);Bvh( ))2 jvh( )j2U}d + K0 ( ) ; i ª K0 = const > 0, = (h). º
i º , ae (14) Æ Ł i+1 ∫ i ae º ß aeº Ł y(t0) = φ0, y(t0 + s) = φ1(s) Ł . . s 2 [ l;0]. ˙ ae y(t) 2 Rn, u(t) 2 Rm, φ0 2 Rn, φ1( ) 2 L2([ l;0];Rn), 0 = 0 < 1 < ::: < l, yt : s ! y(t + s), l s 0, Ai Ł B0 ae ß Ł ß ae Ł n n Ł n m, ae ae , º ß Ł Ø Œ ŁŁs ! A (s), s 2 [ l;0], Ł º ae ae l;0];R), U = Rm. ˛Æ Ł [9 11] X = RnL1L([2([ l;0];Rn) ªŁº Æ ae ae x = (x0;x1(s)) ae aeŒ º ß 0 Ł Ł (x;y)X = (x0;y0)Rn + ∫ (x1(s);y1(s))Rn ds Ł Ø j jX Ł Ł Ø Ł aeŒ º ß l ª l Œ jAij2 + jA ( )j2 d . ˙ ae aeŁ Ł . ˇ Ł
! = 1=2. ˚ ae
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ae Ł Ł º ª Ł aeº øŁ