Die Analyse von Finanzmarktdaten ist ein wertvolles Hilfsmittel beim Tre en von Kaufentscheidungen. Der vorliegende Beitrag stellt einen neuen Ansatz des Online Learnings vor, um die Richtung von Kurszeitreihen zu prognostizieren. Im Unterschied zu klassischen Methoden des Machine Learning benotigt dieser Ansatz keine Trainingsund Testphasen, sondern wird immer auf der Grundlage der aktuellesten Daten kontinuierlich aktualisiert. Wir beschreiben den Ansatz zur Richtungsprognose in Form eines stochastischen Prozesses, der aus lernfahigen Modulen besteht, die endliche Automaten und Zufallsgeneratoren miteinander kombinieren, um Datenausschnitte zu interpretieren und Prognosen zu tre en. In der Lernphase werden sowohl die endlichen Automaten als auch die Zufallsgeneratoren in wechselseitiger Interaktion angepasst. Die experimentelle Evaluierung mit historischen Finanzmarktdaten zeigt, dass unser Verfahren schnell Ergebnisse liefert und besser als der Munzwurf ist.
Die Analyse von Zeitreihen hat in vielen Bereichen der Wissenschaft
(Medizin, Technik, Wirtschaft etc.) eine gro e Bedeutung. Beispielsweise ist es in den
Wirtschaftswissenschaften wichtig zu wissen, wie sich der Aktienmarkt
entwickelt. Dazu werden Methoden zur Beschreibung und Analyse von
Finanzmarktdaten eingesetzt [
Die Richtung des Marktes spielt zum Beispiel im High Frequency Trading
(HFT) eine grosse Rolle, um automatisch eine Kaufentscheidung zu tre en [1,
S. 17]. Hau g analysieren die HFT-Algorithmen Sequenzen von Tick-Daten, die
die Preise einzelner Handels-Transaktionen wiedergeben. Tick-Daten sind nicht
frei zuganglich, jedoch werden an vielen Handelsplatzen ausgewahlte
Datenpunkte vero entlicht, zum Beispiel die Ero nungspreise zu Handelsbeginn, die
Endpreise bei Handelsschluss, die Tageshochstpreise (high-price) oder
Tagestiefpreise (low-price). Zeitreihen uber diese frei verfugbaren Daten weisen ahnliche
Eigenschaften wie Tick-Daten auf. Traditionelle Analysemethoden setzen
klassische Machine-Learningverfahren [
In diesem Paper wird ein Ansatz des Online-Learnings vorgestellt, der die Abwarts- und Aufwartsbewegungen in Kurszeitreihen prognostizieren soll. Eine einfache De nition der Bewegung eines Kurses ist die Vorhersage uber die Richtung (ab- oder aufwarts) der Entwicklung einer numerischen Variablen y in
durch eine Funktion y = f (t) bestimmt. Man spricht von einer Aufwartsbewegung, falls f (ts) f (ts +1) < 0 ist, und von einer Abwartsbewegung, falls f (ts) f (ts + 1) > 0.
Wir prasentieren einen neuen Algorithmus zur Zeitreihenanalyse, der vorhersagt, ob es im Zeitindex ts eine Ab- oder Aufwartsbewegung bezuglich des Zeitindex ts+1 gibt. Der Algorithmus arbeitet mit Zeitfenstern fester Lange n; n 2 N+ = f1; 2; : : :g. Fur jeden Zeitschritt ts nutzt der Algorithmus ein eigenes Modul Mi; i = ts mod n zur Interpretation. Ein Modul Mi; i = 0; 1; : : : ; n 1 interpretiert in einer Folge nicht uberlappender Zeitfenster je einen Wert wts 2 R+ an der i-ten Stelle i = ts mod n des Zeitfensters. Damit werden also die Rohdaten zu Kursen in n unterschiedliche Zeitreihen zerlegt, deren Datenpunkte disjunkte Mengen bilden, die durch eine Auswahl der Rohdaten mit Schrittgro e n entstehen. Fur jede dieser Zeitreihen ist ein eigenes Modul zustandig, das diesen Teil der Rohdaten analysiert. Jedes Modul implementiert einen onlineLearner, das hei t es tri t Vorhersagen bezuglich einer Sequenz von Rohdaten, ohne vorher ein Modell trainieren zu mussen. Dabei nutzt ein Modul Mi Informationen von seinem Nachfolgermodul Mi+1, es pro tiert also vom aktuellen Kenntnisstand von Mi+1, um seinen eigenen Fehler durch Anpassung zu reduzieren. Ein Modul besitzt eine Menge endlicher Automaten, die mit einer Menge von Zufallsgeneratoren interagieren, um eine Schatzung uber die Bewegungsrichtung der Daten abzugeben. Jedes Modul tri t also eine kumulative Entscheidung, die aus den Entscheidungen der einzelnen Automaten aggregiert wird.
Das Paper ist wie folgt organisiert: In Kapitel 2 werden grundlegende Begri e de niert. Kapitel 3 stellt den Ansatz zur Richtungsprognose vor. Kapitel 4 enthalt die algorithmische Beschreibung des Ansatzes. Die experimentelle Evaluierung ist in Kapitel 5 beschrieben. Kapitel 6 beendet den Beitrag mit einer Schlu folgerung. 2
Der Online-Learning-Ansatz nutzt Zufallsgeneratoren. Die Module simulieren darin einen erweiterten stochastischen Prozess, der auf folgenden begri ichen Grundlagen der Wahrscheinlichkeitstheorie basiert.
[0; 1] [
Weiterhin ist in der Wahrscheinlichkeitstheorie ein Bernoulli-Prozess
stochastischer Prozess, der aus n Folgen von unabhangigen Versuchen mit Bernoulli-Verteilung besteht, die unter denselben Umstanden und mit demselben Parameter p durchgefuhrt wurden. Ein Beispiel hierfur ist der n-malige Munzwurf.
In unserem Ansatz betrachten wir einen zweidimensionalen Raum R2, in dem eine Dimension der Zeitverlauf t ist und in der anderen Dimension die Werte wts liegen. Dabei ist von Interesse, wie sich der Wert w in Bezug auf den Zeitverlauf t entwickelt. 3
Fur unsere Richtungsprognose erweitern wir den Bernoulli-Prozess um zwei weiteren Komponenten wts und ts. wts gibt den Wert eines Kurses zum Zeitpunkt ts an.
Lange des betrachteten Zeitfensters. Bts ist eine Bernoulli-Verteilung zum Zeitpunkt ts.
Wir de nieren ein Modul Mi; i = ts mod n, das die Aufgabe hat, eine Richtung in einer Reihe von Werten zu erkennen. Dabei betrachtet Modul Mi den Wert wts und Modul Mi+1 den Nachfolgewert. Ob die Richtung, die Mi prognostiziert, richtig ist, kann erst im Nachhinein beurteilt werden, namlich sobald der Eingabewert fur Mi+1 bekannt ist.
Das Modul hat folgende Komponenten: 1. In jeder Zeit ts be ndet sich Modul Mi entweder im Zustand \Null\ (fur Abwartsrichtung) oder \Eins\ (fur Aufwartsrichtung), und dieser Zustand wird in Modul Mi in der Variablen zustand gespeichert. Sei M das Universum aller Module.
{ Der Zustand von Modul Mi zum Zeitpunkt ts wird durch die Funktion
>8N ull f alls Z(Mi 1) = N ull und wi wi 1 ><>N ull f alls Z(Mi 1) = Eins und wi < wi 1 Z(Mi) := >>Eins f alls Z(Mi 1) = Eins und wi wi 1 >:Eins f alls Z(Mi 1) = N ull und wi > wi 1
Falls i gleich 0 ist, dann setzen wir i 1 gleich n 1. { Wir de nieren die Bewegungsstarke fur Modul Mi als:
jwi wi+1j
Zmov(Mi) := max(wi;wi+1) 6. Wir setzen die Qualitat von Modul Mi gleich:
kGEins Zustand+kGNull Zustand Q(Mi) := kGEins Zustand+fGEins Zustand+kGNull Zustand+fGNull Zustand p00
Null p01
Eins p11 1. Ein Automat A in Modul M be ndet sich entweder im Zustand \Null\ oder \Eins\. Dieser Zustand wird in der Variablen zustand gespeichert. Es gilt immer A:zustand = M:zustand. 2. p00 bezeichnet die Wahrscheinlichkeit, dass Automat A, wenn er sich im Zustand \Null\ be ndet, weiterhin im Zustand \Null\ bleibt. p01 bezeichnet die Wahrscheinlichkeit, dass Automat A, wenn er sich im Zustand \Null\ be ndet, in den Zustand \Eins\ wechselt. p11 bezeichnet die Wahrscheinlichkeit, dass Automat A, wenn er sich im Zustand \Eins\ be ndet, weiterhin in diesem Zustand bleibt. p10 bezeichnet die Wahrscheinlichkeit, dass Automat A, wenn er sich im Zustand \Eins\ be ndet, in den Zustand \Null\ wechselt. b(R(A); z) := Es gelten immer die folgenden Beziehungen: p01 = 1 p00 p10 = 1 p11 3. Wir de nieren die Funktion R(A) fur Automat A wie folgt:
R(A) := (p00 f alls A:zustand = N ull
p11 f alls A:zustand = Eins Wir de nieren den binaren Wertebereich b fur R(A) und die Zufallszahl z 2 (0; 1] wie folgt: ( 1 1 f alls z R(A) f alls z > R(A) 4. Wir de nieren die U bergangsfunktionen fur die Automaten mit Hilfe der Zufallszahl z wie folgt: Automat A be ndet sich im Zustand \Null\, dann de nieren wir A0: A0(A; z) := (N ull f alls z p00
Eins sonst Automat A be ndet sich im Zustand \Eins\, dann de nieren wir A1: A1(A; z) := (Eins f alls z p11
N ull sonst 5. Um ein Schatzungsschritt des Automaten A zu bewerten, werden seine Schatzergebnisse im Nachhinein betrachtet. Dazu de nieren wir die boolesche Funktion B(A; z) bezuglich Automat A und Zufallszahl z 2 (0; 1] wie folgt: 8 (f alls A0(A; z) 6= Mi+1:zustand >>>F alsch B(A; z) := <> f alls A1(A; z) 6= Mi+1:zustand
(f alls A0(A; z) = Mi+1:zustand >>>Richtig :> f alls A1(A; z) = Mi+1:zustand n0A bezeichnet die absolute Anzahl der Aufrufe, in denen Automat A im Zustand \Null\ war. n1A bezeichnet die absolute Anzahl der Aufrufe, in denen Automat A im Zustand \Eins\ war. kn1A ist die Anzahl der korrekt eingeschatzten \Eins\-Zustande durch Automat A. khn1A ist die Anzahl der korrekt hintereinander eingeschatzten \Eins\-Zustande durch Automat A. kn0A ist die Anzahl der korrekt eingeschatzten \ Null\ Zustande durch Automat A. khn0A ist die Anzahl der korrekt hintereinander eingeschatzten \Null\-Zustande durch Automat A. f n1A ist die Anzahl der falsch eingeschatzten \Eins\-Zustande durch Automat A. f hn1A ist die Anzahl der falsch hintereinander eingeschatzten \Eins\-Zustande durch Automat A. f n0A ist die Anzahl der falsch eingeschatzten \Null\-Zustande durch Automat A. f hn0A ist die Anzahl der falsch hintereinander eingeschatzten \Null\-Zustande durch Automat A.
Wir setzen g0(A) und g1(A) gleich: gg10((AA)) ::== kknn10AAkk++nn10AAffnn10AA Wir setzen Qualitat Q von Automat A gleich: Q(A) := g1(A)+g0(A)
2
Innerhalb jedes Moduls M gibt es 2r : r 2 N+ Zufallszahlsgeneratoren G. Die generierten Zufallszahlen werden von den endlichen Automaten interpretiert, um eine Schatzung fur den Zustand des Folgemoduls abzugeben. r Generatoren sind \Null\-Zufallszahlsgeneratoren G0, deren Ergebnisse im \Null\-Zustand der Automaten benutzt werden. Der Rest von G sind \Eins\-Zufallszahlsgeneratoren G1 fur den \Eins\-Zustand der Automaten. Jeder Automat eines Moduls nutzt fur einen Schatzschritt die Menge an r Zufallsgeneratoren, die zu seinem derzeitigen Zustand passen. Das hei t, das Modul benutzt in jedem Schritt r2 Schatzungen kumulativ. Ein Zufallgenerator hat eine Menge von Intervallen, von denen das mit der hochsten Qualitat als aktives Intervall ausgewahlt wird, um damit eine Zufallszahl fur den Entscheidungsschritt der Automaten zu generieren. Alle Intervalle werden im nachfolgenden Schritt uberpruft und G wird aktualisiert. Jeder Zufallszahlsgenerator G besteht aus folgenden Komponenten: 1. nG0 bezeichnet die gesamte Anzahl der Aufrufe des Zufallszahlsgenerators in der Vergangenheit, falls G ein \Null\-Zufallszahlsgenerator ist, d.h. falls G 2 G0.
nG1 bezeichnet analog die gesamte Anzahl der Aufrufe, falls G 2 G1. 2. 10k; k 2 N+ Intervalle I = (0; 1].
B(I; A; Zmov(M )) :=
f alse sonst
( 1
T (Mi:zustand; Mi+1:zustand) := Jedes Intervall I hat folgende Komponenten:
2. Eine Boolesche Funktion B(:), um das Intervall I innerhalb eines Zufallszahlsgenerators G in Bezug auf seinen Reprasentanten re, einen Automat A und eine Bewegungsstarke Zmov(M ) zu bewerten: (true f alls b(R(A); re) = b(R(A); Zmov(M ))
Mi:zustand = Mi+1:zustand 1 sonst
C := 4. Funktion C : B(:) ! f0; 1g (1 f alls B(I; ; A; Zmov(M )) = true
0 sonst 5. Variable ka de niert als:
(0 f alls ts = 0 ka := ka + 1 f alls sign (Pr
i=1 b(R(Ai); re)) = sign (T (Mi:zustand; Mi+1:zustand)) 6. Vkrar=iaPbler kr; die in jedem Schritt wie folgt aktualisiert wird:
i=1 C(B(I; Ai; Zmov(M ))) 7. Wir de nieren die Gute g eines Intervalls I wie folgt: g(I) := +3+ , wobei ; und wie folgt de niert sind: : = ( ka nG0 ka nG1 f alls G 2 G0 sonst Sei die Genauigkeit l1(ts) von I zum Zeitpunkt ts de niert als: l1(ts) := 1 mjarxe(reZ;Zmmovo(vM( Mi)ij))
ist de niert als Durchschnitt der l1(ts) uber alle Aufrufe des Intervalls I. Sei l2(ts) de niert als: l2(ts) := kr
r ist de niert als Durchschnitt der l2(ts) uber alle Aufrufe des Intervalls I. (a) Wir de nieren das aktive Intervall eines Zufallsgenerators G als: A(G) := arg maxI2G g(I) A:p11 =
A:p11 (khn1A
U (0; 1)) f alls Mi+1:zustand = N ull
(khn0A f alls B(A; z) = Richtig f alls B(A; z) = Richtig J1 := und J2 :=
f hn1A sonst f hn0A sonst Bei einem Zufallszahlsgenerator G ist dann die Lernphase wie folgt: re = (re + [(Zmov(M ) re) U (0; 1)] f alls re Zmov(M )
re [(re Zmov(M )) U (0; 1)] sonst
Unser Verfahren braucht die Daten also nicht vorzuverarbeiten und hat nicht wie klassische Dataminingverfahren eine Lernphase und eine Testphase. Wir lernen in chronologischer Reihenfolge (inkrementell) und entscheiden auch online (gleichzeitig). 4
Hier beschreiben wir die kumulative Entscheidungsphase unseres Algorithmus: do f
S e t z e sum = 0 ; r(Mi) ; if (i + 1 == n)
i = 0 ; else
i = i + 1 ; g while(true) ; g
g
Wir evaluieren unser Verfahren mit empirischen Daten. Die Datengrundlage bilden historische Finanzmarktdaten. Die erste Hypothese besagt, dass unser Verfahren fur die Richtungsprognose bessere Ergebnisse liefert als ein Munzwurf. Damit konnen wir zeigen, dass das Verfahren lernfahig ist. Wir haben fur unsere Module die Qualitatsfunktion Q(:) de niert. Wir konnen anhand dieser Funktion die Genauigkeit der Vorhersagen eines Moduls messen. Ergibt die Messung der Vorhersagen eines Moduls eine durchschnittliche Qualitat von uber 50%, so gilt das Modul als besser denn der Munzwurf. Ist die Mehrzahl der Module besser als der Munzwurf, so gilt die Hypothese als erfullt.
Um unser Verfahren zu evaluieren, benutzen wir die google- und
yahooFinanzmarktdaten [
Wir stellen unsere Ergebnisse zuerst fur ein Datenbeispiel Hochstpreise fur Yahoo-Wertpapiere im Abhangigkeitsmodus und dann im Unabhangigkeitsmodus bildlich dar (siehe Abbildung 2 und 3). In beiden Varianten ist die Mehrzahl der Module besser als der Munzwurf. Fur Tageshochstwerte von Yahoo sind sieben von zehn Modulen im Abhangigkeitsmodus besser als der Munzwurf und sogar alle zehn Module im Unabhangigkeitsmodus. Tabelle 1 zeigt die Durchschnittswerte fur alle Module des gesamten Experiments. Nach dem optischen Eindruck ist die Qualitat der Module im Abhangigkeitsmodus stabiler und halt sich im ganzen Verlauf des Experiments. Die systematische Untersuchung der Stabilitat der Module wird Gegenstand unserer zukunftigen Arbeit sein. Insgesamt liefern die Experimente eine klare Bestatigung unserer Hypothese fur die gewahlten Beispieldaten.
Im vorliegenden Paper haben wir einen neuen Online-Learning Ansatz zur Analyse von Finanzmarktdaten vorgestellt, der die Richtung in Kurszeitreihen prognostiziert und kein vorgegebenes Modell besitzt. In unserem Ansatz simulieren zufallsbasiert generierte Zahlen z 2 (0; 1] zusammen mit (0,1)-Automaten die zukunftige Kursbewegungsstarke. Hier bezieht sich der Begri Online auf die sequentielle Verarbeitung der Eingabewerte, d.h. beim Aufruf jedes Moduls durch einen Kurswert wird jeweils nacheinander in jedem Schritt P ! Q ! L durchgefuhrt, wobei P; Q und L wie folgt de niert sind P ist eine Schatzung, ob es im nachsten Zeitschritt eine Ab- oder Aufwartsrichtung gibt.
Q ist die Qualitatsevaluierung des Moduls und seiner Komponenten nach Bekanntgabe der nachsten Kursbewegungsstarke.
L ist die Anpassung der Interpretation (Verbesserung der Simulation) der (0,1)Automaten zusammen mit den Zufallszahlen nach Bekanntgabe der nachsten Kursbewegungsstarke.
Da unser Verfahren als Eingabe lediglich Zeitreihen uber Numerische Werte benotigt, konnen wir davon ausgehen, dass es fur eine Vielzahl weiterer Anwendungsgebiete genutzt werden kann. Vielversprechende Anwendungsgebiete sind zum Beispiel Richtungsprognosen fur medizinische Zeitreihendaten oder Geschaftsdaten wie Umsatze und Provisionen.