Konsistente Parametrisierung von Flachen vom Geschlecht 1 zur Bildung eines statistischen Formmodells des Wirbels

Abstract

Kurzfassung. Fur die Segmentierung komplexer Strukturen wie beispielsweise Wirbel werden hau g statistische Formmodelle (SFM) verwendet. Bei der Konstruktion des SFM stellt die Losung des Korrespondenzproblems eine der gro ten Herausforderungen dar. In dieser Arbeit prasentieren wir einen neuen automatischen Ansatz fur die Initiallosung des Korrespondenzproblems fur Flachen vom Geschlecht 1. Dazu schneiden wir eine Referenz ache der Trainingsmenge entlang zweier moglichst kurzer Schleifen auf und propagieren diese auf die ubrigen Flachen der Trainingsmenge. Anschlie end bilden wir jede Flache auf den Parameterraum des Rechtecks ab, wo wir die entstehende Flachenverzerrung mit einem heuristischen Ansatz verringern. Damit konnen wir SFM mit erhohter Qualitat konstruieren.

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Die exakte Segmentierung der Wirbelsaule ist fur eine Reihe von klinischen Anwendungen wichtig. Dazu gehoren z.B. die Platzierung von Schrauben zur Stabilisierung der Wirbelsaule, die Behandlung von Bruchen oder komplizierten Bandscheibenvorfallen. Bei der Betrachtung abdominaler Strukturen wird die Wirbelsaule auch als Referenzstruktur segmentiert. Bei der Wirbelsegmentierung liegen oft unscharfe Objektgrenzen vor, ahnliche Strukturen be nden sich in direkter Nachbarschaft und die Wirbel selbst sind komplexe Objekte [ 1 ]. Daher integriert man hau g Vorwissen uber die Form und verwendet statistische Formmodelle (SFM) [ 2 ] fur die Segmentierung. Ein SFM enthalt Information uber die Abweichungen der Form einer Flache von ihrem Mittelwert. Das Modell wird anhand einer Menge von Trainings achen gelernt, die durch eine feste Anzahl Punkte dargestellt werden. Des Weiteren mussen Punkte mit dem gleichen Index miteinander korrespondieren, das hei t das gleiche anatomische Merkmal reprasentieren. Die Losung dieses Korrespondenzproblems ist eine der gro ten Herausforderungen bei der Konstruktion des SFM. Da einfache Methoden wie Iterative-Closest-Point auf Grund der z. T. unterschiedlichen relativen Lage korrespondierender Punkte zu ungenugenden Ergebnissen fuhren, wird das Korrespondenzproblem in der Regel durch Parametrisierung gelost (z.B. Davies et al. [ 3 ], Heimann et al. [ 4 ]). Dabei werden die Flachen auf einen einfacheren Parameterraum abgebildet, wo die Korrespondenzen durch Optimierung einer geeigneten Zielfunktion bestimmt werden. Diese Arbeiten beschranken sich jedoch auf geschlossene Flachen vom Geschlecht 0, wie z.B. Leber oder Niere. Das Geschlecht beschreibt anschaulich gesprochen die Anzahl der Locher einer Flache. Ein vom Geschlecht unabhangiger Ansatz wurde von Lamecker et al. [ 5 ] entwickelt. Sie zerteilen das Organ in einzelne Patches und parametrisieren diese auf eine Kreisscheibe. Zur Bestimmung der Schnittlinien mussen jedoch einige Punkte manuell vorgegeben werden und an den Schnittstellen kommt es zu Diskontinuitaten. Klinder et al. [ 1 ] haben einen automatischen modellbasierten Ansatz zur Detektion, Identi zierung und Segmentierung explizit fur Wirbel entwickelt. Zur Bestimmung der Korrespondenzen verwenden sie den Ansatz von Lorenz und Krahnstover [ 6 ], die im Gegensatz zu [ 3 ] und [ 4 ] die Korrespondenzen mittels eines Templates bestimmen und einige Landmarken manuell setzen mussen.

In dieser Arbeit prasentieren wir einen automatischen Ansatz zur konsistenten Losung des Korrespondenzproblems fur Flachen vom Geschlecht 1, wie z.B. ein Torus oder ein Wirbel. 2

Material und Methoden

Der in dieser Arbeit vorgestellte Algorithmus besteht aus folgenden Schritten. Zunachst bestimmen wir auf jedem Wirbel zwei Schleifen, entlang derer wir die Form aufschneiden. Anschlie end bilden wir sie auf den Parameterraum des Rechtecks ab, wo wir in einem dritten Schritt die entstehende Flachenverzerrung verringern. Damit konnen wir ein SFM mit erhohter Qualitat konstruieren. 2.1

Bestimmung der Schnittschleifen Bei der Bestimmung der Schnittschleifen ist es wichtig, dass wir konsistente Schleifen nden, die auf jeder Form der Trainingsmenge ungefahr entlang desselben Weges verlaufen. Daher wahlen wir zunachst einen Referenzwirbel vRef aus der Trainingsmenge S = fvi : i = 1; :::; sg, s 2 N, deren Elemente durch Dreiecksnetze dargestellt werden. Auf dem Dreiecksnetz des Referenzwirbels bestimmen wir mit Hilfe des Algorithmus von Erickson und Whittlesey [ 7 ] die in Summe kurzesten zwei Referenzschleifen mit gemeinsamem Basispunkt. Aus der Topologie ist bekannt, dass zwei Schnittschleifen notig sind, um einen Torus oder Wirbel auf ein Rechteck abzubilden. Anschlie end propagieren wir diese Referenzschleifen auf die ubrigen Trainingswirbel wie folgt: Beginnend am Basispunkt wahlen wir b Stutzpunkte (b 2 N) auf jeder Referenzschleife in Abhangigkeit von der Schleifenlange und bestimmen fur jeden Stutzpunkt mittels des Iterative-Closest-Point-Algorithmus den nachsten Nachbarn auf jedem Wirbel der Trainingsmenge. Die Schleife eines Wirbels wird durch Aneinanderhangen der kurzesten Pfade zwischen den propagierten Stutzpunkten bestimmt.

Schneiden wir die Form entlang der Schnittschleifen auf, so erhalten wir eine Flache, die homoomorph zu einem Rechteck ist. Daher ist es uns moglich mit Tuttes Graph-Einbettungs-Methode [ 8 ] die Flache auf das Rechteck abzubilden. Zur Abbildung des Randes bilden wir jede Schleife auf eine Seite des Rechtecks ab und eine duplizierte Version auf die gegenuberliegende Seite. Die gegenuberliegenden Seiten werden miteinander identi ziert (Abb. 1). Bei der Abbildung auf den Parameterraum entsteht zwangslau g Verzerrung. Da wir am Ende unsere Wirbel durch uniformes Sampling rekonstruieren wollen, verwenden wir hier eine einfache heuristische Methode, um die Flachenverzerrung zu verringern. Die Grundidee stammt vom Histogrammausgleich aus der Bildverarbeitung: Wir nehmen zunachst an, dass unser Dreiecksnetz ungefahr gleich gro e Dreiecke enthalt. Wir betrachten die Schwerpunkte (xj ; yj ), j = 1; :::; p, der Dreiecke und sortieren sie aufsteigend nach ihrem x-Wert. Dann wenden wir die folgende Transformation an

Tx : f(x1; y1); :::; (xp; yp)g ! R

R (xj ; yj ) 7 ! (

xp p 1

j ∑(k

) 1); yj

fur j = 1; :::; p k=1 wobei p die Anzahl der Samplepunkte bezeichnet. Fur die y-Werte gehen wir analog vor.

Abschlie end rekonstruieren wir die Wirbel. Dazu legen wir ein regelma iges Dreiecksgitter auf den Parameterraum und bestimmen die Werte auf der 3DFlache durch Interpolation. Mit diesen rekonstruierten Wirbeln konnen wir nun ein SFM konstruieren. (1) (2) Abb. 1. Abbildung der Schleifen auf den Parameterraum.

Ergebnisse

Als Trainingsmengen haben wir zwei manuell segmentierte CT-Datensatze (9 Thoraxwirbel bzw. 14 Lendenwirbel) verwendet. Der Remeshing-Algorithmus von Fuhrmann et al. [ 9 ] stellt sicher, dass die Annahme ungefahr gleich gro er Dreiecke erfullt ist. Wir haben jeden Wirbel der jeweiligen Trainingsmenge als Referenzwirbel getestet und das zugehorige statistische Formmodell konstruiert, welches unabhangig von der Wahl des Referenzwirbels plausible Formvariationen enthalt. Dabei haben wir einmal die Flachen nur mit Tuttes Graph-EinbettungsMethode parametrisiert und einmal zusatzlich die in Kapitel 2 erlauterte Verringerung der Flachenverzerrung verwendet. Wie in Abb. 2 zu erkennen, wird der Wirbel im zweiten Fall besser rekonstruiert vor allem in Bereichen hoher Krummung. Bei den Modellen lasst sich beobachten, dass mit Verringerung der Verzerrung das Modell plausiblere Formen enthalt. Ein statistisches Formmodell des Lendenwirbels mit Verringerung der Flachenverzerrung ist in Abb. 3 dargestellt. 4

Diskussion

In dieser Arbeit haben wir einen automatischen Ansatz zur konsistenten Losung des Korrespondenzproblems fur Flachen vom Geschlecht 1 prasentiert. Der wesentliche Fortschritt hierbei ist, dass wir Flachen vom Geschlecht 1 behandeln und dabei im Gegensatz zu [ 5 ] zum einen die Diskontinuitaten bei der Bestimmung der Schnittschleifen gering halten und zum anderen automatisiert vorgehen. Ferner haben wir eine Heuristik prasentiert, welche die Flachenverzerrung auf dem Parameterraum erfolgreich verringert. Die Experimente zeigen, Abb. 2. Vergleich zweier Rekonstruktionen des Lendenwirbels aus Abb. 1. Links ist das Ergebnis mit Tuttes Graph-Einbettungsmethode zu sehen und rechts mit Verringerung der Flachenverzerrung. Man erkennt, dass der rechte Wirbel vor allem in Bereichen hoher Krummung die ursprungliche Form besser reprasentiert.

Becker et al.

Abb. 3. Modell des Lendenwirbels mit Verbesserung der Flachenverzerrung. In der Mitte be ndet sich das Durchschnittsmodell. Links ist jeweils die Form fur den Formparameter 2p i und rechts fur den Formparameter 2p i fur die zwei gro ten Eigenwerte i, i = 1; 2, abgebildet. dass dadurch die Qualitat des resultierenden SFM erhoht wird. Eine quantitative Evaluation steht noch aus. In Zukunft wollen wir die Verbesserung des Modells weiter untersuchen und prufen, ob z.B. durch Optimierung der Minimum Description Length [ 3 ] die Qualitat des Modells noch erhoht werden kann. Literaturverzeichnis

References

1. Klinder T , Ostermann J , Ehm M. Automated model-based vertebra detection, identi cation, and segmentation in CT images . Med Image Anal . 2009 ; 13 ( 3 ): 471 { 82 .

2. Cootes TF , Taylor CJ , Cooper DH , et al. Active shape models-their training and application . Comput Vis Image Underst . 1995 ; 61 ( 1 ): 38 { 59 .

3. Davies RH , Twining CJ , Cootes TF , et al. Building 3D statistical shape models by direct optimization . IEEE Trans Med Imaging . 2010 ; 29 ( 4 ): 961 { 81 .

4. Heimann T , Wolf I , Williams TG , et al. 3D active shape models using gradient descent optimization of description length . Lect Notes Computer Sci. 2005 ; p. 566 { 77 .

5. Lamecker H , Lange T , Seebass M. A statistical shape model for the liver . Lect Notes Computer Sci. 2002 ; p. 422 { 27 .

6. Lorenz C , Krahnstoever N. Generation of point-based 3D statistical shape models for anatomical objects . Comput Vis Image Underst . 2000 ; 77 : 175 { 91 .

7. Erickson J , Whittlesey K. Greedy optimal homotopy and homology generators . In: Proc of SODA. Society for Industrial and Applied Mathematics ; 2005 . p. 1038 { 46 .

8. Tutte WT . How to draw a graph . Proc London Math Soc . 1963 ; 13 : 743 { 68 .

9. Fuhrmann S , Ackermann J , Kalbe T , et al. Direct resampling for isotropic surface remeshing . In: Proc VMV. Eurographics; 2010 . p. 9 { 16 .