Segmentierung der Prostata aus MRT-Bilddaten mittels eines statistischen Modells

Abstract

Kurzfassung. In dieser Arbeit wird ein semi-automatisches Verfahren zur Segmentierung der Prostata in MRT Bildern vorgestellt. Dieses basiert auf der Kombination eines statistischen Formmodells mit einem lokalen statistischen Erscheinungsmodell, welche beide aus handsegmentierten Trainingsdaten generiert werden. Eine neue, robuste Kostenfunktion auf Basis eines Shrinkage-Schatzers wird an 10 Datensatzen evaluiert. Dabei zeigt sich fur das Segmentierungsergebnis mit ShrinkageSchatzer eine mittlere Ober achenabweichung von 1.77 mm, wahrend die verbreitet eingesetzte Mahalanobis Distanz eine Abweichung von 2.67 mm erreicht.

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2.1

Stand der Forschung

Deformierung basiert [ 1 ]. Klein greift auf ein Verfahren basierend auf Atlas Matching mit einer Mutual Information Kostenfunktion zuru¨ck [ 2 ]. Toth entwicklete ein Verfahren basierend auf SSM kombiniert mit einer combined Mutual Information Kostenfunktion [ 3 ]. 2.2

Beschreibung der verwendeten Methoden

Das vorgestellte Verfahren basiert auf einem statistischen Form- und Erscheinungsmodell, welches aus 87 MRT Aufnahmen von verschiedenen Patienten erstellt wurde. Ein deformierbares Oberfla¨chenmodell und ein graphbasiertes Suchverfahren in Kombination mit einer Kostenfunktion werden verwendet um das Modell iterativ an die gesuchte Struktur anzupassen. Fu¨r die Generierung des Formmodells wurde auf einen bereits implementierten Algorithmus von Heimann [ 4 ] zuru¨ckgegriffen. Die iterative Anpassung erfolgt gema¨ß der Methode in [ 5 ], durch ein deformierbares Modell, welches den Lagrange’schen Bewegungsgleichungen zugrunde liegt. Dabei wird eine Oberfla¨chentriangulation M = (V, E) mit Punkten p, q 2 V und Kanten [p, q] 2 E an das Bildvolumen angepasst. Jeder der n Punkte pi 2 V, (i = 1, . . . , n) korrespondiert hierbei zu einem Punkt p˜i, (i = 1, . . . , n) im statistischen Formmodell. Innere Kra¨fte Fint und a¨ußere Kra¨fte Fext verformen die Triangulation iterativ und wirken dabei explizit auf jeden Punkt pi 2 V pt+1 = pit + Fint(pit) + Fext(pit)

i Die inneren Kra¨fte setzen sich aus zwei voneinander unabha¨ngigen Teilkra¨ften zusammen. Die Spannkra¨fte FT gleichen Unterschiede in den Kantenla¨ngen aus. Die Steifekra¨fte FR beheben Differenzen bei Winkeln benachbarter Fla¨chen. Beide Kra¨fte werden fu¨r jeden Punkt pi 2 V im geometrischen Modell unabha¨ngig voneinander berechnet und addiert. A¨ ußere Kra¨fte verformen das geometrische Modell so, dass es mo¨glichst gut an das zugrunde liegende Bildvolumen angepasst wird. Dazu wird eine Kostenfunktion eingefu¨hrt, welche fu¨r jeden Punkt pi 2 V die Abweichung von der Oberfla¨che bzw. die Anpassungskosten von pi berechnet. Zu diesem Zweck, werden sowohl fu¨r jeden Punkt pi 2 V , als auch an K nach innen und außen verschobenen Positionen die Kosten berechnet. Dadurch erha¨lt man fu¨r jeden Punkt 2K + 1 Stellen pik, welche a¨quidistant mit dem Abstand d entlang des Normalenvektor N (pi) verteilt sind pik = pi + k d N (pi) k 2 [ K; K] (2) Unter den 2K + 1 Punkten kann nun der optimale Punkt s(pi) mit minimalen Kosten bestimmt werden. Die a¨ußeren Kra¨fte sind als Zugkra¨fte einer Linearen Feder definiert, welche die pi 2 V in Richtung ihrer optimalen Position s(pi) verschieben

Fext(pi) = γ(s(pi) pi) γ stellt einen Parameter zur Regulierung der Sta¨rke der a¨ußeren Kra¨fte dar. Zur Bestimmung der optimalen Verschiebungen s(pi) aller Punkte pi des geometrischen Modells wurde die Methode von Li et al. [ 6 ] verwendet. Dabei wird das (1) (3) beschriebene Problem in das Problem des Findens eines Minimum s-t-Schnitt in einem gerichteten Graphen umgewandelt. Das Ergebnis des Verfahrens liefert eine Konstellation optimaler Verschiebungen s(p1), . . . , s(pn), welche zusa¨tzlich noch die Bedingungen erfu¨llt, dass sich benachbarte Punkte pi, pj 2 V in ihrer optimalen Verschiebung s(pi), s(pj ) um nicht mehr als ein vorher festgelegtes ∆k unterscheiden du¨rfen.

Als Grundlage zur Modellierung einer Kostenfunktion im Zusammenhang mit statistischen Formmodellen za¨hlen die Grauwertprofile, welche bereits 1993 von Cootes [ 7 ] eingefu¨hrt wurden. Dazu wird entlang der Normalen des betrachteten Punktes ein Grauwertprofil g abgetastet. Der Grundgedanke bestand darin, dass die Grauwertprofile na¨herungsweise einer multivariaten Gauß-Verteilung unterliegen sollten. Um diese zu modellieren wurde zu jeder Landmarke pi in jedem der J Trainingsdatensa¨tze das Profil gij abgetastet, sodass durch den Mittelwert g¯i und die empirische Kovarianzmatrix Σi die Verteilung der Profile fu¨r die i-te Landmarke gescha¨tzt werden konnte. Auf dieser Grundlage la¨sst sich schließlich fu¨r jedes weitere Profil g die Wahrscheinlichkeit Pi(g), dass g zur Verteilung der Profile der i-ten Landmarke geho¨rt, bestimmen

Pi(g) = e− 21 DM;i(g)

DM;i(g) = (g g¯i)Σi−1(g g¯ )T i (4) Wobei DM;i(g) die Mahalanobisdistanz des Profils g zur Stichprobe der i-ten Landmarke bestimmt.

Um das Verfahren der lokalen Suche stabiler zu machen, erfolgt die Berechnung anhand eines Multi Resolution Approach. Bei jedem Downsampling des Originalbildes, werden zusa¨tzlich bei jeder Halbierung der Auflo¨sung die Absta¨nde d der Proben entlang jedes Profils verdoppelt. Ein bekanntes Problem der Mahalanobisdistanz besteht darin, dass die Kovarianzmatrix und der Erwartungswertvektor fu¨r kleine Stichproben stark fehleranfa¨llig fu¨r Ausreißer sind. Um diesen Effekt zu mindern und somit auch fu¨r nicht so ma¨chtige Trainingsmengen noch eine verla¨ssliche Kostenfunktion zu erhalten wurden Shrinkage-Scha¨tzer aus [ 8 ] fu¨r die neue Kostenfunktion verwendet. Durch den Einsatz dieser Scha¨tzer fu¨r die Kovarianzmatrix und den Erwartungswertvektor wird die Berechnung wesentlich weniger anfa¨llig fu¨r Ausreißer. Dabei werden die Scha¨tzer fu¨r Erwartungswertvektor µˆshr und Kovarianzmatrix Σˆshr mit Hilfe der traditionellen Scha¨tzer µˆ sowie Σˆ bestimmt. Der Scha¨tzwert fu¨r den Erwartungswertvektor setzt sich als gewichtetes Mittel aus µˆ und b zusammen µˆshr = (1 α) µˆ + α b b = 1 ∑N µˆi N i=1  1   ...    1 In [ 8 ] wurde gezeigt, dass sich die optimale Gewichtung α durch α = berechnen la¨sst, wobei λmax den gro¨ßten Eigenwert des Kovarianzscha¨tzwertes Σˆ und λ¯ den Durchschnitt u¨ber alle Eigenwerte darstellt. Die Berechnung des (5) (6) Tabelle 1. Mittlerer Fehler ASDmean und Root Mean Square Fehler RMS uber alle Segmentierungen mit Mahalanobisdistanz (Mahal) und Shrinkage Schatzer (Shr).

Mahal ASDmean

Mahal RMS

Shr ASDmean

Shr RMS Minumum Unteres Quartil Median Oberes Quartil Maximum In dieser Arbeit wurde ein Verfahren zur semi-automatischen Segmentierung von Organkonturen vorgestellt und anhand MRT Bildern der Prostata validiert. Das Verfahren beruht auf einer Kombination von statistischem Formmodell, statistischen Erscheinungsmodell und eines deformierbaren Modells. Der entscheidende Forschungsbeitrag stellt hierbei neben dem Segmentierungsergebnis, die Evaluierung einer neuen, robusten Kostenfunktion dar, welche der herko¨mmlichen Mahalanobisdistanz u¨berlegen ist.

Abb. 1. Exempl. Segmentierung unter Verwendung des Shrinkage Schatzers. Literaturverzeichnis

References

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