Kurzfassung. Das bildgebende Verfahren Magnetic-Particle-Imaging (MPI) ermoglicht die Bestimmung der ortlichen Verteilung super-paramagnetischer Nanopartikel in-vivo. Fur eine 1D-Messsequenz kann die Bildgebungsgleichung des Verfahrens als Faltung formuliert werden. Anhand der Halbwertsbreite des Faltungskerns kann die erreichbare Ortsau osung von MPI abgeschatzt werden. Dieses Ma berucksichtigt allerdings weder das Rauschen der Messdaten noch den moglichen Au osungsgewinn, der durch eine Entfaltung erreicht werden kann. In dieser Arbeit wird die Modulationsubertragungsfunktion des Bildgebungsprozesses auswertet, um so das Au osungsvermogen von MPI in Abhangigkeit vom Rauschen zu ermitteln.
MPI verwendet fu¨r die Bildgebung zwei verschiedene Magnetfeldtypen. Dies ist zum einen ein statisches Selektionsfeld HS(x) = Gx, das linear mit der Gradientsta¨rke G ansteigt und einen feldfreien Punkt (FFP) im Ursprung aufweist. Zum anderen wird ein homogenes dynamisches Anregungsfeld HD(t) verwendet, das den FFP durch den Raum bewegt und so den Messbereich abtastet. In einfachster Form steigt das Anregungsfeld linear mit der Zeit an und kann durch HD(t) = t; t 2 [ T2 ; T2 ) mit der Feldanstiegsrate und der Repetitionszeit T beschrieben werden. Durch das Anregungsfeld wird der FFP linear im Raum verschoben und befindet sich zum Zeitpunkt t an der Position x˜ = G t.
Die Felda¨nderung verursacht eine zeitliche und ra¨umliche A¨nderung der Partikelmagnetisierung M (x; t), die unter Annahme einer ausreichend schnellen Relaxationszeit in der Form M (x; t) = c(x)m(H(x; t)) mit der Partikelkonzentration c und dem magnetischen Durchschnittsmoment m geschrieben werden kann. Das in einer Empfangsspule induzierte Signal kann nach [3, 4] als Faltung u(t) = ∫ ∞
−∞ mit dem Faltungskern c(x) m˜(G−1 t
x) dx = (c m˜) (G−1 t) m˜ (x) := 0p m′(Gx) geschrieben werden. Dabei beschreibt p die Empfangsspulensensitivita¨t und 0 = 4 10−7 Hm−1 die Permeabilita¨t im Vakuum. Die Position, an der die Faltung ausgewertet wird, ist gerade der FFP x˜, so dass die Bildgebungsgleichung nach der Koordinatentransformation x˜ = G t als gewo¨hnliche Faltung s(x˜) := u (G x˜)= (c m˜) (x˜) geschrieben werden kann. In der Realita¨t wird das ideale Messsignal s(x˜) durch Rauschen mit Standardabweichung gesto¨rt, welches durch den Rauschwiderstand der Empfangsspulen verursacht wird. 2.2
Modulationsubertragungsfunktion Ein bekanntestes Maß zur Untersuchung des Auflo¨sungsvermo¨gens von Bildgebungssystemen ist die Modulationsu¨bertragungsfunktion (MTF) [6]. Diese gibt an, in welchem Maße der Kontrast einer abgebildeten Struktur durch eine Faltung geda¨mpft wird. Formal wird die MTF u¨ber die Fouriertransformierte des Faltungskerns definiert und ist durch
MTF(f ) = jmˆ (f )j
j mˆ(0)j
(
Um aus der MTF die maximal erreichbare Ortsauflo¨sung zu bestimmen, wird im Folgenden eine Partikelverteilung
c(x) = c0(1 + sin(2 f0x))
mit der Ortsfrequenz f0 und der mittleren Konzentration c0 betrachtet. Da die
Faltung (
1 SNR(0) ) ; wobei MTF−1 die Inverse der MTF bezeichnet. Diese sollte nicht mit der inversen Fouriertransformation F −1 verwechselt werden. Um die Ortsfrequenz in ein La¨ngenmaß R umzurechnen, kann
1 1 R = 2f max = 2MTF−1 (
1
SNR(0)
)
verwendet werden. Der Faktor 12 ist no¨tig, um die Auflo¨sung als die Gro¨ße des
kleinsten noch auflo¨sbaren Objektes anzugeben. Andere Definitionen geben die
Auflo¨sung als Breite eines gerade noch aufgelo¨sten Linienpaares an.
Abb. 1. MTF des MPI-Bildgebungsprozesses fur verschiedene partikeldurchmesser und
eine gro enverteilung an Partikeln (Log-Normalverteilung mit einem Mittelwert von
16.4 nm und einer Standardabweichung von 4 nm).
(
Um die Auflo¨sungsabscha¨tzung (8) zu validieren, wurden Messungen mit dem in [7] vero¨ffentlichten Single-Sided-MPI-Scanner durchgefu¨hrt. Zur Bestimmung der inversen MTF werden verschiedene Scannerparameter beno¨tigt. Dies ist zum einen der Gradient G, der in dem betrachteten Messbereich von 1.5 mm bis 16.5 mm zwischen 0.8 Tm−1 −1 und 1.3 Tm−1 −1 variiert und zum anderen 0 0 das SNR bei Frequenz null, das zwischen 90 und 680 liegt (Abb. 2). Weiterhin geht in die MTF die Partikelgro¨ßenverteilung mit ein, die fu¨r den verwendeten Tracer Resovist durch eine Log-Normalverteilung mit 16.4 nm Mittelwert und 4 nm Standardabweichung beschrieben wird. Aufgrund der Ortsabha¨ngigkeit der Gradientensta¨rke und des SNR variiert auch die erreichbare Auflo¨sung. Diese wird mittels (8) in jedem Punkt im Messbereich separat bestimmt.
Zur Validierung der abgescha¨tzten Auflo¨sungen wird die Auflo¨sung des Systems mit einer Punktprobe vermessen, die durch den Messbereich bewegt wird. An jeder Position wird eine Messung durchgefu¨hrt und die Halbwertsbreite des rekonstruierten Punktes bestimmt. 3
In Abb. 3 sind die Rekonstruktionsergebnisse der Punktprobe sowie die gemessenen und abgescha¨tzten Auflo¨sungen dargestellt. Wie man sieht, nimmt die Auflo¨sung des Scanners mit dem Abstand zum Scanner ab. Dies liegt daran, dass bei der asymmetrischen Spulenanordnung sowohl der Gradient als auch das SNR mit Abstand zum Scanner fa¨llt. Weiterhin ist erkennbar, dass zwischen der gemessenen und der abgescha¨tzten Auflo¨sung eine gute U¨ bereinstimmung vorliegt. Die bislang bei MPI betrachtete Halbwertsbreite des Faltungskerns weist eine deutliche Abweichung zu dem tatsa¨chlichen Auflo¨sungsverlauf auf. Abb. 2. SNR (oben) und Gradientenstarke (unten) des Single-Sided-MPI-Scanners in Abhangigkeit von der Position. Das Koordinatensystem ist so gewahlt, dass die Oberache des Scanners bei x = 0 liegt. Abb. 3. Rekonstruktionsergebnisse der Punktprobe (links) sowie die gemessenen und abgeschatzten Au osungen (rechts). 4
In dieser Arbeit wurde das Auflo¨sungsvermo¨gen von Magnetic-Particle-Imaging mittels der Modulationsu¨bertragungsfunktion untersucht. Es wurde ein Ausdruck zur Abscha¨tzung der Auflo¨sung hergeleitet, der anhand von MPI-Messdaten validiert wurde. Bislang wurde das Auflo¨sungsvermo¨gen von MPI durch die Halbwertsbreite des Faltungskerns abgescha¨tzt. Dieses Maß beru¨cksichtigt aber weder das SNR der Messdaten noch den mo¨glichen Auflo¨sungsgewinn, der durch eine Rekonstruktion erzielt werden kann. Bei den betrachtet Daten liegt die Halbwertsbreite je nach Gradient zwischen 1.2 mm und 1.8 mm wohingegen die tatsa¨chliche Auflo¨sung zwischen 1.0 mm und 2.7 mm variiert. Das in dieser Arbeit vorgeschlagene Maß fu¨r die Auflo¨sung stimmt dagegen mit der tatsa¨chlichen Auflo¨sung gut u¨berein.