Einleitung

Das bildgebende Verfahren Magnetic-Particle-Imaging (MPI) ermöglicht die Bestimmung der örtlichen Verteilung magnetischer Nanopartikel [1]. Durch eine schnelle Datenakquisition kann MPI zur Abbildung des schlagenden Herzens eingesetzt werden, wie in den ersten in-vivo Tierexperimenten gezeigt wurde [2]. Eine der medizinischen Zielapplikationen ist demnach die nichtinvasive Diagnose von Herzkrankheiten.

In [3] und [4] wurde unabhängig voneinander gezeigt, dass der MPI-Bildgebungsprozess für eine 1D-Messsequenz als Faltung formuliert werden kann. Dies ermöglicht es, Aussagen über das Auflösungsvermögen von MPI abzuleiten. In [5,4] wurde dazu die Halbwertsbreite des Faltungskerns als Maß für die Auflösung verwendet. Zwei Dinge blieben dabei jedoch unberücksichtigt: zum einen geht das Signal-zu-Rausch-Verhältnis (englisch: Signal to Noise Ratio, SNR) der Messdaten nicht in das Auflösungsmaß ein. Zum anderen bleibt unberücksichtigt, dass die Auflösung durch eine Entfaltung deutlich verbessert werden kann.

In dieser Arbeit wird das Auflösungsvermögen von MPI durch analysieren der Modulationsübertragungsfunktion abgeschätzt. Der entwickelte Ausdruck berücksichtigt das SNR der Messdaten und wird anhand von experimentellen MPI-Daten validiert.

Material and Methoden

Bildgebungsgleichung

MPI verwendet für die Bildgebung zwei verschiedene Magnetfeldtypen. Dies ist zum einen ein statisches Selektionsfeld H S (x) = −Gx, das linear mit der Gradientstärke G ansteigt und einen feldfreien Punkt (FFP) im Ursprung aufweist. Zum anderen wird ein homogenes dynamisches Anregungsfeld H D (t) verwendet, das den FFP durch den Raum bewegt und so den Messbereich abtastet. In einfachster Form steigt das Anregungsfeld linear mit der Zeit an und kann durch

H D (t) = θt, t ∈ [ − T 2 , T 2 )

mit der Feldanstiegsrate θ und der Repetitionszeit T beschrieben werden. Durch das Anregungsfeld wird der FFP linear im Raum verschoben und befindet sich zum Zeitpunkt t an der Position x = θ G t. Die Feldänderung verursacht eine zeitliche und räumliche Änderung der Partikelmagnetisierung M (x, t), die unter Annahme einer ausreichend schnellen Relaxationszeit in der Form M (x, t) = c(x)m(H(x, t)) mit der Partikelkonzentration c und dem magnetischen Durchschnittsmoment m geschrieben werden kann. Das in einer Empfangsspule induzierte Signal kann nach [3,4] als Faltung

u(t) = ∫ ∞ −∞ c(x) m(G −1 θt − x) dx = (c * m) ( G −1 θt ) (1) mit dem Faltungskern m(x) := −µ 0 pθm ′ (Gx)(2)

geschrieben werden. Dabei beschreibt p die Empfangsspulensensitivität und µ 0 = 4π • 10 −7 Hm −1 die Permeabilität im Vakuum. Die Position, an der die Faltung ausgewertet wird, ist gerade der FFP x, so dass die Bildgebungsgleichung nach der Koordinatentransformation x = θ G t als gewöhnliche Faltung

s(x) := u ( G θ x) = (c * m) (x)(3)

geschrieben werden kann. In der Realität wird das ideale Messsignal s(x) durch Rauschen ν mit Standardabweichung σ gestört, welches durch den Rauschwiderstand der Empfangsspulen verursacht wird.

Modulationsübertragungsfunktion

Ein bekanntestes Maß zur Untersuchung des Auflösungsvermögens von Bildgebungssystemen ist die Modulationsübertragungsfunktion (MTF) [6]. Diese gibt an, in welchem Maße der Kontrast einer abgebildeten Struktur durch eine Faltung gedämpft wird. Formal wird die MTF über die Fouriertransformierte des Faltungskerns definiert und ist durch

MTF(f ) = | m(f )| | m(0)|(4)

mit m(f ) = F( m(x)) gegeben. Die MTF ist so normiert, dass der Gleichanteil eines Signals einen Kontrast von eins hat. In Abbildung 1 ist die MTF des MPI-Bildgebungsprozesses für verschiedene Partikelgrößen dargestellt. Um aus der MTF die maximal erreichbare Ortsauflösung zu bestimmen, wird im Folgenden eine Partikelverteilung

c(x) = c 0 (1 + sin(2πf 0 x)) (5)

mit der Ortsfrequenz f 0 und der mittleren Konzentration c 0 betrachtet. Da die Faltung (3) im Frequenzraum durch eine Multiplikation mit der Fouriertransformierten des Faltungskerns beschrieben werden kann, gilt für das SNR

SNR(f 0 ) = c 0 | m(f 0 )| σ = c 0 MTF(f 0 )| m(0)| σ = MTF(f 0 )SNR(0).(6)

Zur Bestimmung der maximal erreichbaren Auflösung kann die Frequenz bestimmt werden, bei der das SNR unter den Wert eins fällt. Auflösen nach der Frequenz ergibt anschließend

f max = MTF −1 ( 1 SNR(0) ) , (7)

wobei MTF −1 die Inverse der MTF bezeichnet. Diese sollte nicht mit der inversen Fouriertransformation F −1 verwechselt werden. Um die Ortsfrequenz in ein Längenmaß R umzurechnen, kann Um die Auflösungsabschätzung (8) zu validieren, wurden Messungen mit dem in [7] veröffentlichten Single-Sided-MPI-Scanner durchgeführt. Zur Bestimmung der inversen MTF werden verschiedene Scannerparameter benötigt. Dies ist zum einen der Gradient G, der in dem betrachteten Messbereich von 1.5 mm bis 16.5 mm zwischen 0.8 Tm

R = 1 2f max = 1 2MTF −1 ( 1 SNR(0) )(8