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==über das Auflösungsvermögen von Magnetic-Particle-Imaging==
https://ceur-ws.org/Vol-715/bvm2011_68.pdf
Über das Auflösungsvermögen von
Magnetic-Particle-Imaging
Tobias Knopp, Sven Biederer, Timo F. Sattel, Marlitt Erbe,
Thorsten M. Buzug
Institut für Medizintechnik, Universität zu Lübeck, Lübeck
knopp@imt.uni-luebeck.de
Kurzfassung. Das bildgebende Verfahren Magnetic-Particle-Imaging
(MPI) ermöglicht die Bestimmung der örtlichen Verteilung super-para-
magnetischer Nanopartikel in-vivo. Für eine 1D-Messsequenz kann die
Bildgebungsgleichung des Verfahrens als Faltung formuliert werden. An-
hand der Halbwertsbreite des Faltungskerns kann die erreichbare Orts-
auflösung von MPI abgeschätzt werden. Dieses Maß berücksichtigt al-
lerdings weder das Rauschen der Messdaten noch den möglichen Auflö-
sungsgewinn, der durch eine Entfaltung erreicht werden kann. In dieser
Arbeit wird die Modulationsübertragungsfunktion des Bildgebungspro-
zesses auswertet, um so das Auflösungsvermögen von MPI in Abhängig-
keit vom Rauschen zu ermitteln.
1 Einleitung
Das bildgebende Verfahren Magnetic-Particle-Imaging (MPI) ermöglicht die Be-
stimmung der örtlichen Verteilung magnetischer Nanopartikel [1]. Durch eine
schnelle Datenakquisition kann MPI zur Abbildung des schlagenden Herzens
eingesetzt werden, wie in den ersten in-vivo Tierexperimenten gezeigt wurde [2].
Eine der medizinischen Zielapplikationen ist demnach die nichtinvasive Diagnose
von Herzkrankheiten.
In [3] und [4] wurde unabhängig voneinander gezeigt, dass der MPI-Bild-
gebungsprozess für eine 1D-Messsequenz als Faltung formuliert werden kann.
Dies ermöglicht es, Aussagen über das Auflösungsvermögen von MPI abzuleiten.
In [5, 4] wurde dazu die Halbwertsbreite des Faltungskerns als Maß für die Auf-
lösung verwendet. Zwei Dinge blieben dabei jedoch unberücksichtigt: zum einen
geht das Signal-zu-Rausch-Verhältnis (englisch: Signal to Noise Ratio, SNR) der
Messdaten nicht in das Auflösungsmaß ein. Zum anderen bleibt unberücksichtigt,
dass die Auflösung durch eine Entfaltung deutlich verbessert werden kann.
In dieser Arbeit wird das Auflösungsvermögen von MPI durch analysieren
der Modulationsübertragungsfunktion abgeschätzt. Der entwickelte Ausdruck
berücksichtigt das SNR der Messdaten und wird anhand von experimentellen
MPI-Daten validiert.
330 Knopp et al.
2 Material and Methoden
2.1 Bildgebungsgleichung
MPI verwendet für die Bildgebung zwei verschiedene Magnetfeldtypen. Dies ist
zum einen ein statisches Selektionsfeld H S (x) = −Gx, das linear mit der Gra-
dientstärke G ansteigt und einen feldfreien Punkt (FFP) im Ursprung aufweist.
Zum anderen wird ein homogenes dynamisches Anregungsfeld H D (t) verwendet,
das den FFP durch den Raum bewegt und so den Messbereich abtastet. In ein-
fachster Form steigt[ das Anregungsfeld
) linear mit der Zeit an und kann durch
H D (t) = θt, t ∈ − T2 , T2 mit der Feldanstiegsrate θ und der Repetitionszeit
T beschrieben werden. Durch das Anregungsfeld wird der FFP linear im Raum
θ
verschoben und befindet sich zum Zeitpunkt t an der Position x̃ = G t.
Die Feldänderung verursacht eine zeitliche und räumliche Änderung der Par-
tikelmagnetisierung M (x, t), die unter Annahme einer ausreichend schnellen Re-
laxationszeit in der Form M (x, t) = c(x)m(H(x, t)) mit der Partikelkonzentrati-
on c und dem magnetischen Durchschnittsmoment m geschrieben werden kann.
Das in einer Empfangsspule induzierte Signal kann nach [3, 4] als Faltung
∫ ∞
( )
u(t) = c(x)m̃(G−1 θt − x) dx = (c ∗ m̃) G−1 θt (1)
−∞
mit dem Faltungskern
m̃(x) := −µ0 pθm′ (Gx) (2)
geschrieben werden. Dabei beschreibt p die Empfangsspulensensitivität und µ0 =
4π · 10−7 Hm−1 die Permeabilität im Vakuum. Die Position, an der die Faltung
ausgewertet wird, ist gerade der FFP x̃, so dass die Bildgebungsgleichung nach
θ
der Koordinatentransformation x̃ = G t als gewöhnliche Faltung
(G )
s(x̃) := u θ x̃ = (c ∗ m̃) (x̃) (3)
geschrieben werden kann. In der Realität wird das ideale Messsignal s(x̃) durch
Rauschen ν mit Standardabweichung σ gestört, welches durch den Rauschwider-
stand der Empfangsspulen verursacht wird.
2.2 Modulationsübertragungsfunktion
Ein bekanntestes Maß zur Untersuchung des Auflösungsvermögens von Bildge-
bungssystemen ist die Modulationsübertragungsfunktion (MTF) [6]. Diese gibt
an, in welchem Maße der Kontrast einer abgebildeten Struktur durch eine Fal-
tung gedämpft wird. Formal wird die MTF über die Fouriertransformierte des
Faltungskerns definiert und ist durch
|m̂(f )|
MTF(f ) = (4)
|m̂(0)|
Magnetic-Particle-Imaging 331
mit m̂(f ) = F(m̃(x)) gegeben. Die MTF ist so normiert, dass der Gleichanteil
eines Signals einen Kontrast von eins hat. In Abbildung 1 ist die MTF des MPI-
Bildgebungsprozesses für verschiedene Partikelgrößen dargestellt.
Um aus der MTF die maximal erreichbare Ortsauflösung zu bestimmen, wird
im Folgenden eine Partikelverteilung
c(x) = c0 (1 + sin(2πf0 x)) (5)
mit der Ortsfrequenz f0 und der mittleren Konzentration c0 betrachtet. Da die
Faltung (3) im Frequenzraum durch eine Multiplikation mit der Fouriertransfor-
mierten des Faltungskerns beschrieben werden kann, gilt für das SNR
c0 |m̂(f0 )| c0 MTF(f0 )|m̂(0)|
SNR(f0 ) = = = MTF(f0 )SNR(0). (6)
σ σ
Zur Bestimmung der maximal erreichbaren Auflösung kann die Frequenz be-
stimmt werden, bei der das SNR unter den Wert eins fällt. Auflösen nach der
Frequenz ergibt anschließend
( )
max −1 1
f = MTF , (7)
SNR(0)
wobei MTF−1 die Inverse der MTF bezeichnet. Diese sollte nicht mit der inver-
sen Fouriertransformation F −1 verwechselt werden. Um die Ortsfrequenz in ein
Längenmaß R umzurechnen, kann
1 1
R= = ( ) (8)
2f max 2MTF−1 1
SNR(0)
verwendet werden. Der Faktor 21 ist nötig, um die Auflösung als die Größe des
kleinsten noch auflösbaren Objektes anzugeben. Andere Definitionen geben die
Auflösung als Breite eines gerade noch aufgelösten Linienpaares an.
Abb. 1. MTF des MPI-Bildgebungsprozesses für verschiedene partikeldurchmesser und
eine größenverteilung an Partikeln (Log-Normalverteilung mit einem Mittelwert von
16.4 nm und einer Standardabweichung von 4 nm).
332 Knopp et al.
Um die Auflösungsabschätzung (8) zu validieren, wurden Messungen mit dem
in [7] veröffentlichten Single-Sided-MPI-Scanner durchgeführt. Zur Bestimmung
der inversen MTF werden verschiedene Scannerparameter benötigt. Dies ist zum
einen der Gradient G, der in dem betrachteten Messbereich von 1.5 mm bis
16.5 mm zwischen 0.8 Tm−1 µ−1 0 und 1.3 Tm−1 µ−1
0 variiert und zum anderen
das SNR bei Frequenz null, das zwischen 90 und 680 liegt (Abb. 2). Weiterhin
geht in die MTF die Partikelgrößenverteilung mit ein, die für den verwendeten
Tracer Resovist durch eine Log-Normalverteilung mit 16.4 nm Mittelwert und
4 nm Standardabweichung beschrieben wird. Aufgrund der Ortsabhängigkeit der
Gradientenstärke und des SNR variiert auch die erreichbare Auflösung. Diese
wird mittels (8) in jedem Punkt im Messbereich separat bestimmt.
Zur Validierung der abgeschätzten Auflösungen wird die Auflösung des Sy-
stems mit einer Punktprobe vermessen, die durch den Messbereich bewegt wird.
An jeder Position wird eine Messung durchgeführt und die Halbwertsbreite des
rekonstruierten Punktes bestimmt.
3 Ergebnisse
In Abb. 3 sind die Rekonstruktionsergebnisse der Punktprobe sowie die gemes-
senen und abgeschätzten Auflösungen dargestellt. Wie man sieht, nimmt die
Auflösung des Scanners mit dem Abstand zum Scanner ab. Dies liegt daran,
dass bei der asymmetrischen Spulenanordnung sowohl der Gradient als auch das
SNR mit Abstand zum Scanner fällt. Weiterhin ist erkennbar, dass zwischen der
gemessenen und der abgeschätzten Auflösung eine gute Übereinstimmung vor-
liegt. Die bislang bei MPI betrachtete Halbwertsbreite des Faltungskerns weist
eine deutliche Abweichung zu dem tatsächlichen Auflösungsverlauf auf.
Abb. 2. SNR (oben) und Gradientenstärke (unten) des Single-Sided-MPI-Scanners in
Abhängigkeit von der Position. Das Koordinatensystem ist so gewählt, dass die Ober-
fläche des Scanners bei x = 0 liegt.
Magnetic-Particle-Imaging 333
Abb. 3. Rekonstruktionsergebnisse der Punktprobe (links) sowie die gemessenen und
abgeschätzten Auflösungen (rechts).
4 Diskussion
In dieser Arbeit wurde das Auflösungsvermögen von Magnetic-Particle-Imaging
mittels der Modulationsübertragungsfunktion untersucht. Es wurde ein Aus-
druck zur Abschätzung der Auflösung hergeleitet, der anhand von MPI-Mess-
daten validiert wurde. Bislang wurde das Auflösungsvermögen von MPI durch
die Halbwertsbreite des Faltungskerns abgeschätzt. Dieses Maß berücksichtigt
aber weder das SNR der Messdaten noch den möglichen Auflösungsgewinn, der
durch eine Rekonstruktion erzielt werden kann. Bei den betrachtet Daten liegt
die Halbwertsbreite je nach Gradient zwischen 1.2 mm und 1.8 mm wohingegen
die tatsächliche Auflösung zwischen 1.0 mm und 2.7 mm variiert. Das in dieser
Arbeit vorgeschlagene Maß für die Auflösung stimmt dagegen mit der tatsächli-
chen Auflösung gut überein.
Literaturverzeichnis
1. Weizenecker BGJ. Tomographic imaging using the nonlinear response of magnetic
particles. Nature. 2005;435(7046):1214–1217.
2. Weizenecker J, Gleich B, Rahmer J, et al. Three-dimensional real-time in vivo
magnetic particle imaging. Phys Med Biol. 2009;54(5):L1–L10.
3. Schomberg H. Magnetic particle imaging: Model and reconstruction. Proc IEEE
ISBI. 2010; p. 992–995.
4. Conolly PGS. The x-space formulation of the magnetic particle imaging process:
one-dimensional signal, resolution, bandwidth, SNR, SAR, and magnetostimulation.
IEEE Trans Med Imaging. 2010;29(11):1851–1859.
5. J Rahmer BGJB J Weizenecker. Signal encoding in magnetic particle imaging. BMC
Med Imaging. 2009;9.
6. Buzug T. Computed Tomography: From Photon Statistics to Modern Cone-Beam
CT. Berlin/Heidelberg: Springer; 2008.
7. Sattel T, Knopp T, Biederer S, et al. Single-sided device for magnetic particle
imaging. J Phys D Appl Phys. 2009;42(1):1–5.