Kurzfassung. Wir leiten einen Rekonstruktionsalgorithmus zur Streustrahlungstomographie her. Eine schnelle Monte-Carlo Simulation dient in jedem Iterationsschritt der bilderzeugenden Vorwartsprojektion. Numerische Experimente werden fur ein System aus rotierender Rontgenquelle und winkelversetzter Gammakamera durchgefuhrt. Die dreidimensionalen Rekonstruktionen untersuchen wir auf ihre Korrektheit.
Die gewa¨hlten Systemparameter spiegeln den geplanten experimentellen Aufbau wider: die am Objekt gestreute Strahlung einer Ro¨ntgenro¨hre mit Wolframanode bei 130 kV wird von einer Pinhole-Gammakamera detektiert. Ro¨ntgenro¨hre und Kamera rotieren um 90◦ versetzt um das Objekt. 2.2
Fu¨r die Scha¨tzung der Messungen sowie als Vorwa¨rtsprojektor fu¨r die iterative
Rekonstruktion haben wir eine MC-Software mit optimierter Varianzreduktion
erstellt. Das Programm beno¨tigt auf einem modernen PC nur wenige Sekunden,
um auf der Kamera so viele Photonen zu detektieren, wie sie in der Realita¨t erst
nach Minuten eintra¨fen [
Der Photonenfluss wird bestimmt durch (mehrfache) Compton- und Rayleighstreuung und photoelektrische Absorption. Eine beliebige Materialverteilung in einem voxelierten Phantom definiert die Elementzusammensetzung und damit die Wirkungsquerschnitte. Fu¨r die Kamera wird eine intrinsische Energieunscha¨rfe von 9,5 % entsprechend einem NaI-Kristall angenommen. Eine Punktspreizfunktion wird fu¨r das Pinhole tiefenabha¨ngig geometrisch bestimmt. Diese die Projektionsscha¨rfe reduzierenden Effekte werden durch Faltung u¨ber alle jeweils in einem festen Abstand von der Kamera gestreuten Photonen beru¨cksichtigt. Die Streuung am Pinholerand, Fluoreszenz in der Kamera, elektronisches Rauschen und Totzeiteffekte wurden bislang noch nicht beru¨cksichtigt. Fu¨r eine detaillierte ra¨umliche Abstrahlcharakteristik der Ro¨ntgenquelle fehlen noch empirische Daten. 2.3
Fu¨r jede Projektion bei gegebener Ro¨hren- und Kameraposition werden 10 50 Mio. in der Kamera geza¨hlte Photonen simuliert, wodurch ein nahezu rauschfreies Bild gescha¨tzt wird. Dieses wird nachtra¨glich mit Poissonrauschen entsprechend der eingestellten Meßdauer und Ro¨hrenleistung versehen.
Das geometrische Phantom (Abb. 1) besteht aus Wasser, Knochen,
Skelettmuskel normaler Dichte, Skelettmuskel 80-prozentiger Dichte und Fettgewebe.
Die Elementzusammensetzungen sind aus den ICRU-44-Definitionen [
Rekonstruiert wird mit einem modifizierten iterativen OSEM-Algorithmus [
B ds e− ∫0s dt (x(t)) | {z2 } [x(s)] [x(s); (s)] e− ∫A(s) dt (x(s)+t·e(s)) | {z1 } (1) Dabei ist B der vom Pixel P aus sichtbare Strahl, parametrisiert als x(s). A(s) ist der Verbindungsstrahl von einem Streuzentrum x(s) zur Ro¨ntgenquelle, e(s) sein Richtungsvektor. [x(s); (s)] ist der materialabha¨ngige, differentielle Streuquerschnitt am Punkt x(s) bei geometrisch festgelegtem Streuwinkel (s). Weiter erscheint die Massendichte [x(s)]. Sie ist ungefa¨hr proportional zur Elektronendichte und damit zum lokalen Streukoeffizienten.
Bis auf die modifizierten Schwa¨chungsterme 1;2 und den Streuquerschnitt entspricht dies der Situation in der Emissionstomographie, wenn die zu rekonstruierende Emissionsdichte durch die Elektronendichte ersetzt wird. Entsprechend wu¨rde in dieser Na¨herung ein MLEM oder OSEM-Algorithmus unter den gleichen Bedingungen zur maximum-likelihood Lo¨sung konvergieren: in einem Iterationsschritt werden fu¨r die Positionen eines Subsets zuna¨chst die Projektionen zur aktuellen Scha¨tzung bestimmt – mit dem MC-Programm wie oben. Der Quotient aus gemessenen und gescha¨tzten Projektionen wird dann gewichtet mit allen Faktoren aus (1) als Korrekturfaktor zuru¨ckprojiziert.
Zu beachten ist, dass das inverse Problem durch Mehrfachstreuung
nichtlinear wird: die Summe zweier Masseverteilungen erzeugt nicht die Summe ihrer
Projektionen. In unserem Testphantom mit 64 mm Durchmesser sind etwa 30 %
der empfangenen Photonen u¨ber 30 keV mehrfach gestreut. Obwohl nun der
Iterationsschritt nicht mehr exakt der EM-Bedingung [
Ein weiteres fu¨r unser Problem zentrales Merkmal ist die Unabha¨ngigkeit der unbekannten Absorption (x) und der Streuwahrscheinlichkeit (x) (x). Eine vereinfachte Situation wa¨re eine bekannte energieabha¨ngige Absorption (etwa durch eine gleichzeitige Transmissionsmessung). Alternativ kann die photoelektrische Schwa¨chung durch den Umriss des Phantoms und angenommene Homogenita¨t abgescha¨tzt werden.
In den Simulationen mit bekanntem Phantom kennen wir die Segmentierung in eingebettete Kugeln verschiedenen Materials. Wir berechnen die Mittelwerte und Standardabweichungen der rekonstruierten Elektronendichten im Vergleich zum wahren Wert. 3
Beispielprojektionen sind in Abb. 2 vorgestellt. Die Rekonstruktion der zentralen Ebene mit bekannter und unbekannter Absorption ist in Abb. 3 gezeigt. In Tab. 1 werden die rekonstruierte Elektronendichten in den eingebetteten Kugeln mit dem wahren Wert verglichen. Bei bekannter Absorption ergeben sich Fehler von bis zu 6,5 % im Mittel und 10 % Standardabweichung in den Kugeln. Wird in der Rekonstruktion im gesamten Phantom die Absorption von Muskel einfacher Dichte angenommen, so betra¨gt der mittlere Fehler bis zu 90 % bei einer Standardabweichung von bis zu 87 %.
Abb. 2. Energieintervalle 35/ 65/ 85/ 115/ 135 5 keV einer Projektion des Testphantoms. Farbskala je relativ von 0 bis Maximum. Bei niedrigen Energieen absorbieren die Kugeln aus Knochenmaterial stark, weshalb in diesen Bereichen nur wenige Photonen auf den Detektor gelangen. Die hohen Energiefenster enthalten nur koharent gestreute Photonen.
Abb. 3. Rekonstruktion der zentralen Ebene mit bekannter (links) resp. homogener (rechts) Muskelabsorption. Die Farbskalen reichen von 0 (schwarz) bis 2 (wei ) relativ zu Wasser. Tabelle 1. Rekonstruierte Elektronendichten (zwei Iterationen, bekannte und homogene Absorption im Vergleich): Mittelwerte relativ zu Muskelgewebe mit Standardabweichungen in den eingebetteten Kugeln. Zum Vergleich die wahre relative e -Dichte und der resultierende mittlere Fehler.
Material
bekannte Absorption homogene Absorption Skalierung relative rekonstruierter mittlerer rekonstruierter mittlerer e -Dichte Mittelwert Fehler Mittelwert Fehler 1,0 1,005 1,048 0,016 4,3 % 0,770 0,080 22,4 % 1,0 0,920 0,980 0,020 6,5 % 0,723 0,113 21,4 % 0,8 0,800 0,848 0,041 6,0 % 0,760 0,053 5,0 % 1,0 1,000 1,017 0,042 1,7 % 0,848 0,170 15,2 % 1,0 1,550 1,489 0,143 3,9 % 0,161 0,140 89,6 % 4
Ist die Absorption (z.B. aus einer Transmissions-CT-Aufnahme) bekannt, so kann die Elektronendichte aus der Streuung gut rekonstruiert werden. Knochenund Fettgewebe lassen sich gut vom Muskelgewebe unterscheiden. Nur der Kontrast zwischen Wasser und Muskelgewebe ist erwartungsgema¨ß zu gering um visuell sichtbar zu werden.
Bei unbekannter Absorption werden nur die Knochenanteile deutlich sichtbar. Jedoch treten starke Artefakte (a¨hnlich dem Beam Hardening) darum herum auf. Die rekonstruierten Werte sind nicht zur Elektronendichte proportional (der Knochenwert ist fast Null), sondern sie gleichen die starke Absorption dort aus.
Zusammenfassend stellen wir fest, dass mit einer iterativen Monte-Carlo Rekonstruktion nichtlineare Streu-Tomographie mo¨glich wird. Wichtig dafu¨r ist die Beru¨cksichtigung aller physikalischen Effekte im Projektionsschritt. A-priori Wissen u¨ber die Absorption oder deren zusa¨tzliche tomographische Rekonstruktion ist notwendig. Als na¨chster Schritt ist ein experimenteller Aufbau geplant.