=Paper=
{{Paper
|id=None
|storemode=property
|title=Tomographie aus Compton-Streustrahlung
|pdfUrl=https://ceur-ws.org/Vol-715/bvm2011_88.pdf
|volume=Vol-715
}}
==Tomographie aus Compton-Streustrahlung==
https://ceur-ws.org/Vol-715/bvm2011_88.pdf
Tomographie aus Compton-Streustrahlung
Henrik Botterweck, Elisabeth Röhl
Labor für medizinische Bildgebung, Fachhochschule Lübeck
botterweck@fh-luebeck.de
Kurzfassung. Wir leiten einen Rekonstruktionsalgorithmus zur Streu-
strahlungstomographie her. Eine schnelle Monte-Carlo Simulation dient
in jedem Iterationsschritt der bilderzeugenden Vorwärtsprojektion. Nu-
merische Experimente werden für ein System aus rotierender Röntgen-
quelle und winkelversetzter Gammakamera durchgeführt. Die dreidimen-
sionalen Rekonstruktionen untersuchen wir auf ihre Korrektheit.
1 Einleitung
In der Röntgencomputertomographie wird normalerweise nur die transmittierte
Strahlung zur Bildgebung verwendet [1]. Nehmen wir z.B. als Material Wasser
und als Photonenenergie 60 keV an, so lässt sich der Großteil der Schwächung auf
die Comptonstreuung zurückführen. Erst danach folgen – in dieser Reihenfolge
– der von der Kernladungszahl abhängige photoelektrische Effekt und die Ray-
leigh-Streuung. Mit einem zum Transmissionsdetektor winkelversetzten Detektor
lässt sich auch die von der Elektronendichte abhängende Streustrahlung messen.
Khettabi und Hussein [2] beschreiben dazu ein Verfahren zur Bildgebung aus
einer Transmissionsaufnahme mit zusätzlichen Detektoren parallel zum Durch-
strahlungsweg. Die Volumenrekonstruktion der Compton-Streuung wird mit der
Vereinfachung gemittelter Wirkungsquerschnitte bei [3] beschrieben.
2 Material und Methoden
Mit unserem neuen Ansatz betrachten wir eine Röntgenröhre und eine 90◦ -
winkelversetzte Pinhole-Gammakamera. Letztere mißt die Streustrahlung und
wir untersuchen, inwiefern wir allein daraus das Objekt rekonstruieren können.
Wir gehen dabei nicht von Durchschnittswerten der Wirkungsquerschnitte aus,
sondern simulieren das System mit Hilfe eines neuen Monte-Carlo-Programms.
Dabei berücksichtigen wir die Effekte der Compton- und Rayleighstreuung, des
Röntgenspektrums, der Energieabhängigkeit der Absorption, der Energieauflö-
sung der Kamera und statistisches Rauschen. Vor allem wird auch Mehrfach-
streuung modelliert. Ein statistischer OSEM-Algorithmus [4] wird an das Pro-
blem angepasst. Wir untersuchen die Qualität der Rekonstruktionen unter ver-
schiedenen Annahmen. Dazu nutzen wir ein geometrisches Phantom mit gewebe-
äquivalenten Eigenschaften.
430 Botterweck & Röhl
2.1 Technisches Prinzip
Die gewählten Systemparameter spiegeln den geplanten experimentellen Aufbau
wider: die am Objekt gestreute Strahlung einer Röntgenröhre mit Wolframanode
bei 130 kV wird von einer Pinhole-Gammakamera detektiert. Röntgenröhre und
Kamera rotieren um 90◦ versetzt um das Objekt.
2.2 Monte-Carlo (MC) Simulationen
Für die Schätzung der Messungen sowie als Vorwärtsprojektor für die iterative
Rekonstruktion haben wir eine MC-Software mit optimierter Varianzreduktion
erstellt. Das Programm benötigt auf einem modernen PC nur wenige Sekunden,
um auf der Kamera so viele Photonen zu detektieren, wie sie in der Realität erst
nach Minuten einträfen [5].
Der Photonenfluss wird bestimmt durch (mehrfache) Compton- und Ray-
leighstreuung und photoelektrische Absorption. Eine beliebige Materialvertei-
lung in einem voxelierten Phantom definiert die Elementzusammensetzung und
damit die Wirkungsquerschnitte. Für die Kamera wird eine intrinsische Energie-
unschärfe von 9,5 % entsprechend einem NaI-Kristall angenommen. Eine Punkt-
spreizfunktion wird für das Pinhole tiefenabhängig geometrisch bestimmt. Diese
die Projektionsschärfe reduzierenden Effekte werden durch Faltung über alle je-
weils in einem festen Abstand von der Kamera gestreuten Photonen berücksich-
tigt. Die Streuung am Pinholerand, Fluoreszenz in der Kamera, elektronisches
Rauschen und Totzeiteffekte wurden bislang noch nicht berücksichtigt. Für ei-
ne detaillierte räumliche Abstrahlcharakteristik der Röntgenquelle fehlen noch
empirische Daten.
2.3 Projektionen
Für jede Projektion bei gegebener Röhren- und Kameraposition werden 10 −
50 Mio. in der Kamera gezählte Photonen simuliert, wodurch ein nahezu rausch-
freies Bild geschätzt wird. Dieses wird nachträglich mit Poissonrauschen entspre-
chend der eingestellten Meßdauer und Röhrenleistung versehen.
Das geometrische Phantom (Abb. 1) besteht aus Wasser, Knochen, Skelett-
muskel normaler Dichte, Skelettmuskel 80-prozentiger Dichte und Fettgewebe.
Die Elementzusammensetzungen sind aus den ICRU-44-Definitionen [6] über-
nommen. Das Phantom im Kleintiermaßstab besteht aus einem mit Skelettmus-
kel gefüllten Zylinder von 64 mm Durchmesser und 16 mm Höhe. In der zentralen
Ebene sind je vier Kugeln aus den anderen fünf Materialtypen mit 8, 4 und 2 mm
Durchmesser angeordnet. Quelle und Kamera rotieren seitlich um die Schmal-
seite des Zylinders.
2.4 Rekonstruktion
Rekonstruiert wird mit einem modifizierten iterativen OSEM-Algorithmus [4]:
er berücksichtigt auch Mehrfachstreuung und wäre bei reiner Einfachstreuung
Compton-CT 431
Abb. 1. Zentrale Schicht des Phantoms mit 32 × 128 × 128
Voxeln. Es besteht aus einem 64 mm Durchmesser Zylinder
Skelettmuskel normaler Dichte im Vakuum; Gefüllt mit Ku-
geln jeweils 8/4/2 mm Durchmesser (dunkler nach heller wer-
dend dargestellt) Muskel 80 %-iger Dichte, Fett, Wasser und
Knochen. Die Röntgenquelle und Kamera rotieren in der ge-
zeigten Ebene um den Zylinder.
vom EM-Typus. Dann wäre die gemessene Intensität in einem Kamerapixel P
∫ ∫s ∫
− A(s) dt µ(x(s)+t·e(s))
IP = ds e|− 0 dt
{z
µ(x(t))
} · ρ [x(s)] · σ [x(s), α(s)] · e
| {z } (1)
B
µ2 µ1
Dabei ist B der vom Pixel P aus sichtbare Strahl, parametrisiert als x(s).
A(s) ist der Verbindungsstrahl von einem Streuzentrum x(s) zur Röntgenquelle,
e(s) sein Richtungsvektor. σ [x(s), α(s)] ist der materialabhängige, differentielle
Streuquerschnitt am Punkt x(s) bei geometrisch festgelegtem Streuwinkel α(s).
Weiter erscheint die Massendichte ρ [x(s)]. Sie ist ungefähr proportional zur Elek-
tronendichte und damit zum lokalen Streukoeffizienten.
Bis auf die modifizierten Schwächungsterme µ1,2 und den Streuquerschnitt σ
entspricht dies der Situation in der Emissionstomographie, wenn die zu rekon-
struierende Emissionsdichte durch die Elektronendichte ρ ersetzt wird. Entspre-
chend würde in dieser Näherung ein MLEM oder OSEM-Algorithmus unter den
gleichen Bedingungen zur maximum-likelihood Lösung konvergieren: in einem
Iterationsschritt werden für die Positionen eines Subsets zunächst die Projektio-
nen zur aktuellen Schätzung bestimmt – mit dem MC-Programm wie oben. Der
Quotient aus gemessenen und geschätzten Projektionen wird dann gewichtet mit
allen Faktoren aus (1) als Korrekturfaktor zurückprojiziert.
Zu beachten ist, dass das inverse Problem durch Mehrfachstreuung nichtli-
near wird: die Summe zweier Masseverteilungen erzeugt nicht die Summe ihrer
Projektionen. In unserem Testphantom mit 64 mm Durchmesser sind etwa 30 %
der empfangenen Photonen über 30 keV mehrfach gestreut. Obwohl nun der Ite-
rationsschritt nicht mehr exakt der EM-Bedingung [7] entspricht, ist doch die
tatsächliche ML-Lösung immer noch ein Fixpunkt der Iteration, solange der
Vorwärtsprojektor alle physikalischen Effekte korrekt modelliert. Eine mathe-
matische Untersuchung der Konvergenzeigenschaften steht aus, jedoch verhält
sich der Algorithmus in den untersuchten Fällen wie im Emissionsfall.
Ein weiteres für unser Problem zentrales Merkmal ist die Unabhängigkeit
der unbekannten Absorption µ(x) und der Streuwahrscheinlichkeit ρ(x)σ(x). Ei-
ne vereinfachte Situation wäre eine bekannte energieabhängige Absorption (etwa
durch eine gleichzeitige Transmissionsmessung). Alternativ kann die photoelek-
trische Schwächung durch den Umriss des Phantoms und angenommene Homo-
genität abgeschätzt werden.
432 Botterweck & Röhl
2.5 Auswertung
In den Simulationen mit bekanntem Phantom kennen wir die Segmentierung
in eingebettete Kugeln verschiedenen Materials. Wir berechnen die Mittelwerte
und Standardabweichungen der rekonstruierten Elektronendichten im Vergleich
zum wahren Wert.
3 Ergebnisse
Beispielprojektionen sind in Abb. 2 vorgestellt. Die Rekonstruktion der zentra-
len Ebene mit bekannter und unbekannter Absorption ist in Abb. 3 gezeigt. In
Tab. 1 werden die rekonstruierte Elektronendichten in den eingebetteten Kugeln
mit dem wahren Wert verglichen. Bei bekannter Absorption ergeben sich Fehler
von bis zu 6,5 % im Mittel und 10 % Standardabweichung in den Kugeln. Wird
in der Rekonstruktion im gesamten Phantom die Absorption von Muskel einfa-
cher Dichte angenommen, so beträgt der mittlere Fehler bis zu 90 % bei einer
Standardabweichung von bis zu 87 %.
Abb. 2. Energieintervalle 35/ 65/
85/ 115/ 135±5 keV einer Projektion
des Testphantoms. Farbskala je rela-
tiv von 0 bis Maximum. Bei nied-
rigen Energieen absorbieren die Ku-
geln aus Knochenmaterial stark, wes-
halb in diesen Bereichen nur weni-
ge Photonen auf den Detektor gelan-
gen. Die hohen Energiefenster enthal-
ten nur kohärent gestreute Photonen.
Abb. 3. Rekonstruktion der zentralen Ebene mit bekannter (links) resp. homogener
(rechts) Muskelabsorption. Die Farbskalen reichen von 0 (schwarz) bis 2 (weiß) relativ
zu Wasser.
Compton-CT 433
Tabelle 1. Rekonstruierte Elektronendichten (zwei Iterationen, bekannte und homo-
gene Absorption im Vergleich): Mittelwerte relativ zu Muskelgewebe mit Standardab-
weichungen in den eingebetteten Kugeln. Zum Vergleich die wahre relative e− -Dichte
und der resultierende mittlere Fehler.
bekannte Absorption homogene Absorption
Material Skalierung relative rekonstruierter mittlerer rekonstruierter mittlerer
e− -Dichte Mittelwert Fehler Mittelwert Fehler
Wasser 1,0 1,005 1,048 ± 0,016 4,3 % 0,770 ± 0,080 22,4 %
Fett 1,0 0,920 0,980 ± 0,020 6,5 % 0,723 ± 0,113 21,4 %
Muskel 80% 0,8 0,800 0,848 ± 0,041 6,0 % 0,760 ± 0,053 5,0 %
Muskel 1,0 1,000 1,017 ± 0,042 1,7 % 0,848 ± 0,170 15,2 %
Knochen 1,0 1,550 1,489 ± 0,143 3,9 % 0,161 ± 0,140 89,6 %
4 Diskussion
Ist die Absorption (z.B. aus einer Transmissions-CT-Aufnahme) bekannt, so
kann die Elektronendichte aus der Streuung gut rekonstruiert werden. Knochen-
und Fettgewebe lassen sich gut vom Muskelgewebe unterscheiden. Nur der Kon-
trast zwischen Wasser und Muskelgewebe ist erwartungsgemäß zu gering um
visuell sichtbar zu werden.
Bei unbekannter Absorption werden nur die Knochenanteile deutlich sichtbar.
Jedoch treten starke Artefakte (ähnlich dem Beam Hardening) darum herum
auf. Die rekonstruierten Werte sind nicht zur Elektronendichte proportional (der
Knochenwert ist fast Null), sondern sie gleichen die starke Absorption dort aus.
Zusammenfassend stellen wir fest, dass mit einer iterativen Monte-Carlo Re-
konstruktion nichtlineare Streu-Tomographie möglich wird. Wichtig dafür ist
die Berücksichtigung aller physikalischen Effekte im Projektionsschritt. A-priori
Wissen über die Absorption oder deren zusätzliche tomographische Rekonstruk-
tion ist notwendig. Als nächster Schritt ist ein experimenteller Aufbau geplant.
Literaturverzeichnis
1. Buzug TM. Computed Tomography. Springer Verlag; 2008.
2. Khettabi FE, Hussein EMA. An inverse problem for three-dimensional x-ray scat-
ter/transmission imaging. Inverse Probl. 2003;19:477–95.
3. Arsenault PJ, Hussein EMA. Image reconstruction from the compton scattering of
X-Ray fan beams in thick/dense objects. IEEE Trans Nucl Sci. 2006;53(3):1622–32.
4. Hudson HM, Larkin RS. Accelerated image reconstruction using ordered subsets of
projection data. IEEE Trans Med Imaging. 1994;13(4):601–9.
5. Botterweck H. Transmissions-Bildgebung mit gestreuten Photonen. In: Proc Dt
Gesell Med Phys; 2010.
6. ICRU-1989. Tissue substitutes in radiation dosimetry and measurement. Interna-
tional Commisssion on Radiation Measurements; 1989.
7. Dempster AP, Laird NM, Rubin DB. Maximum-likelihood from incomplete data
via the EM algorithm. J R Stat Soc Series B Stat Methodol. 1977;39:1–38.