Zusammenfassung- Computational Fluid Dynamic (CFD) Simulationen wurden gekoppelt mit dem One-Group Populationsbilanzenmodell durchgeführt, um die Tropfengröße in einer Kühni Miniplant Extraktionskolonne zu bestimmen. Zur Strömungssimulation wurde aufgrund der geringeren Rechenzeit auf das Euler-Euler Modell zurückgegriffen, welches die Tropfen als interpenetrierende Phase behandelt. Die Tropfeninteraktion, wie Tropfenkoaleszenz und Tropfenteilung werden durch das Modell von Prince und Blanch [1] und von Martínez-Bazán et al. [2] beschrieben. Eine verbesserte Visualisierungstechnik wird angewendet, um mehrere Daten in einem Bild kombiniert zu visualisieren. Dies bildet die Basis für Visualisierungserweiterungen, wie z.B. der Visualisierung der Tropfenteilung.
Die Auslegung und Modellierung von flüssig-flüssig Extraktionskolonnen basiert noch immer auf vereinfachten Modellen, die nur teilweise die realen Geschehnisse wie Tropfenkoaleszenz und Tropfenteilung in der Kolonne abbilden. Das Abb. 1. Kooperation zwischen den Instituten einfachste verwendete Modell ist das Stufenmodell, welches auf einer idealisierten Propfenströmung basiert. Dieses Modell berücksichtigt eine Änderung des Zustands in Strömungsrichtung, jedoch keine radiale Änderung senkrecht zu dieser. Bei Abweichungen von der idealen Propfenströmung wird daher auf das Backmixing oder Dispersionsmodell zurückgegriffen, welche die Abweichungen in radialer Richtung über einen einzelnen Parameter berücksichtigen. Kombiniert mit Tropfenpopulationsbilanzmodellen (TPBM) wird Koaleszenz und Teilung der Tropfen mit in Betracht gezogen und es ergibt sich eine gute Modellierungsbasis der Kolonne. Allerdings muss man hierbei auf Korrelationen zurückgreifen, die über große Datenpools zeitaufwändig verifiziert wurden. In den letzten Jahrzenten ergab sich durch die steigende Rechenleistung eine detailliertere, geometrieunabhängige Auflösung des Strömungsproblems, meist auf Basis der Navier-StokesGleichungen oder Euler-Gleichungen, die heute als Computational Fluid Dynamics (CFD) bezeichnet wird. So wurden auch in den letzten Jahren verstärkt in der Verfahrenstechnik fluiddynamische Simulationen von Extraktionskolonnen vom Typ Rotating Disc Contactor (RDC) sowie vom Typ Kühni, dargestellt in Abb. 2, durchgeführt. Die Simulation der RDC Kolonne kann dabei aufgrund der Rotationsymmetrie zweidimensional dargestellt werden, während eine Simulation der Kühni Kolonne dreidimensional bzw. dreidimensional rotationssymmetrisch erfolgen muss.
Einphasige Simulationen einer RDC Kolonne stammen u.a. (a) RDC Kolonne (b) Kühni Miniplant Kolonne
Abb. 2. Unterschiedliche Extraktionskolonnengeometrien
von Modes und Bart [
Die hier beschriebenen Methoden gliedern sich in drei Teile. Der erste Teil beschäftigt sich mit der numerischen Simulation. Der zweite Teil befasst sich mit den Populationsbilanzen und deren Implementierung. Der dritte Teil zeigt die Vorgehensweise bei der verbesserten Datenauswertung und Visualisierung der Simulationsergebnisse auf.
Der Kühni Miniplant Extraktor hat einen Nenndurchmesser von 32 mm und einer Kompartmenthöhe von 28 mm und Strombrecher in Form von flachen Blechen sind in einem Winkel von 120 zueinander angeordnet. Ein Sechsblattrührer ist in der Mitte jedes Kompartments mit der Welle verbunden. In dieser Arbeit wurden sieben Kompartments für die Simulation als Gitter mit dem Pre-Prozessor Gambit generiert. Für die CFD-Simulation mit dem kommerziellen CFD Tool FLUENT wurde das Gitter in zwei Regionen geteilt, eine statische und eine drehende Region, die den Rührer umgibt. Am Boden und am Kopf des Gitters wurde zusätzlich eine Zone für den Einlauf und den Auslauf definiert. Die Randbedingung am Boden wurde als Geschwindigkeitseinlass definiert, wobei der Auslass durch einen Austrittsdruck definiert wird. Als numerischer Rahmen wurde das Euler-Euler Modell verwendet, welches die beiden Phasen als interpenetrierende Kontinua behandelt. Ein Populationsbilanzmodell wurde mit der CFD über benutzerdefinierte Funktionen (“user defined functions“, UDF) gekoppelt, um Koaleszenz- sowie Zerfallsereignisse zu berücksichtigen. Das verwendete flüssig-flüssig-System besteht aus Wasser und n-Butylacetat, wobei die organische Phase in Form von Tropfen am Boden und die kontinuierliche Phase (Wasser) am Kopf in die Kolonne fließt, wodurch eine Gegenströmung der beiden Phasen entsteht. Das für die Simulation erstellte Gitter besteht aus über 500 000 Zellen, welches als Ausschnitt in Abbildung 3 dargestellt ist.
Die Kolonnenwand sowie die Rührer, Welle und Strombrecher sind als no-slip Randbedingung definiert, d.h. dass die Geschwindigkeit der Fluide an der Wand gleich Null ist. Der first-order implicit solver wurde für die Zeitdiskretisierung verwendet, während für die Diskretisierung im Raum das first order upwind scheme verwendet wurde. Die DruckGeschwindigkeitskopplung erfolgt über die Verwendung des Simple Algorithmus. Standard Relaxationsfaktoren wurden für
iOp +O i + i i~g + Fd;i Hierbei ist der Druck durch p und der Stresstensor der Phase i durch i gekennzeichnet. Zusätzlich zu diesen Gleichungen muss für die Zweiphasenströmung die Erhaltung des Phasenanteils gewährleistet sein: c + d = 1: Die Phaseninteraktion wurde durch den Widerstandsterm berücksichtigt. Die Widerstandskraft wird durch Gleichung 4 beschrieben:
Fd;i = 3 c c dCdj!u d !u cj (u~d;i
u~c;i) ;
4dd
wobei Cd über das Modell von Schiller-Naumann [
Die Populationsbilanzgleichung wird generell in Termen der Anzahlkonzentration N ausgedrückt : (2) (3) (4) (5) (6) wobei V das Tropfenvolumen und S(V; t) der Quellterm zur Berücksichtigung von Teilung und Koaleszenz durch die Interaktion der Tropfen ist. Der Wachstumsterm G wird bei Massentransferberechnungen benötigt und wird hier vernachlässigt. Der Quellterm besteht aus vier Termen, jeweils zwei für den Zerfall von Tropfen und zwei für die Koaleszenz der Tropfen. Die zwei Terme berücksichtigen jeweils die Entstehung neuer Tropfen mit einer bestimmten Größe und die damit einhergehende Auslöschung von Tropfen einer bestimmten Größe.
S (V; t) = BC (V; t) +BB(V; t)
DC (V; t) DB (V; t)
Die Zerfalls- und Koaleszenzkernel sind Funktionen der Tropfengröße, systemtypische Parameter wie Viskosität und Oberflächenspannung sowie der turbulenten Energie. Die One die Simulation verwendet. Im Folgenden werden die mathematischen Modelle des Zweiphasenmodells zusammengefasst.
1) Zweiphasenmodell: Das verwendete Zweiphasenmodell ist das Euler-Euler Modell, bei dem die jeweilige Phase i durch den Volumenanteil i beschrieben wird. Die Kontinuitätsgleichung für die kontinuierliche Phase c ist durch @ ( l c) + O ( c cu~c) = 0 (1)
@t
gegeben. In dieser Gleichung ist der Phasenanteil durch c,
die Dichte der kontinuierlichen Phase durch c und die
Geschwindigkei der Phase durch u~c gekennzeichnet. Die
Erhaltungsgleichung wird durch Gleichung 2 beschrieben.
Primary One Secondary Particle Methode (OPOSPM),
entwickelt von Attarakih et al. [
Da das dritte Moment der Kontinuitätsgleichung der
dispersen Phase entspricht (welche im CFD Solver vorhanden ist),
muss nur das nullte Moment durch eine UDF beschrieben
werden. Die Quellterme für Zerfall und Koaleszenz werden von
jeder Zelle vom CFD Solver zurückgegeben. Der Quellterm
für die Tropfenzerfall g(d30) Koaleszenz a(d30; d30) ist wie
folgt definiert:
1
S = (nd (d30) 1) Nd a (d30; d30) Nd2; (9)
2
wobei nd die Anzahl der Tochtertropfen, Nd die Anzahl der
Partikel ist. Mehr Details über die Kopplung von CFD in
Zusammenhang mit dem OPOSPM Modell und dem verwendeten
Zweiphasenmodell sind in [
Zur Beschreibung des Tropfenzerfalls wird das Modell
Martínez-Bazán et al. [
12( =( d))
K ist eine Konstante, die vom ursprünglichen Wert von
0.25 auf einen Wert von 1 gesetzt wurde, um die anpassbaren
Parameter zu reduzieren (Drumm et al. [
Die Kenngröße 0 wurde in vorangegangenen Arbeiten angepasst.
Die Anzahl der Tochtertropfen wurde mit Hilfe einer Hochgeschwindigkeitskamera durch Einzeltropfenversuche in der Miniplant Kühni Kolonne (s. Abb. 4) bestimmt. Einzeltropfen wurden über eine Zweistoffdüse erzeugt, womit die Ablösezeit des Tropfens von der Kapillare sowie die Tropfengröße durch ein um die Kapillare strömendes Fluid beeinflusst werden kann. Der Abstand zwischen den erzeugten Tropfen wurde so groß gewählt, dass sich immer nur ein Tropfen im Kompartment befand. Die entstehenden Tropfen bei einem Zerfallsprozess wurden anschließend über die Videoaufnahmen ausgewertet.
Abb. 4. Tropfenzerfallsbestimmung
Durch die Verwendung von modernen Visualisierungstools wird es dem Anwender bzw. dem Forscher ermöglicht, die Simulation besser zu analysieren. In einem ersten Schritt wurde dazu die Geometrie auf Basis der Simulationsdaten visualisiert und ist bereits in der Einleitung dargestellt. Dabei wurde auf eine möglichst detailgetreue Darstellung der metallenen Rührer und des Glasschusses wert gelegt (vgl. Abb. 4).
Die Tropfengröße und damit auch die Anzahl der Tropfen stellt eine kritische Größe in der Kolonne dar. Da diese durch das benutzte Modell als Mittelwerte im Gitter berechnet werden, repräsentieren diese eine Wahrscheinlichkeit. Die Schwierigkeit bei der Visualisierung der Tropfen in der Kolonne ist die Bestimmung der Tropfenposition und der Tropfengröße. Stochastische Modellierung ist daher einer der möglichen Wege, um die Position der visualisierten Partikel zu bestimmen. Für jeden Zeitschritt kann eine Anzahl von N Tropfen mit einem Durchmesser von d in einer Zelle durch eine homogene Verteilungsfunktion für die Tropfenmitte [px; py; pz] dargestellt werden: p(x) (
1 xZellmax: xZellmin: 0 ; wenn xZellmin: ansonsten.
x xZellmax: Adäquate Formeln gelten für die Komponenten py; pz. Die Anzahl der Tropfen N kann durch folgende Gleichung beschrieben werden:
X N
Vjeder Tropfen =
wobei den Phasenanteil der dispersen Phase darstellt und durch die Simulationsdaten zur Verfügung gestellt wird.
Neben der Tropfenvisualisierung soll durch eine Kombination der CFD mit der Tropfenvisualisierung die Verfolgung einzelner Tropfen sowie durch Erweiterungen die Visualisierung des Tropfenzerfalls und der Tropfenkoaleszenz ermöglicht werden. Hierzu erfolgte in einem ersten Schritt die Visualisierung des Vektorfeldes in der Auswertesoftware und um diese um Partikelbahnen zu erweitern. Die Partikelbahnen zeigen den Weg der Tropfen durch die Kolonne über die Zeit. Der Start einer solchen Partikelbahn wird durch den Einlass der Kolonne definiert und endet am Auslass einer Kolonne bzw. durch einen Zerfall des Tropfen. Die mathematische Beschreibung der Tropfen erfolgt durch: 8 d <
dt :p~(t0) = p~0 p~(x; y; z) = ~v(p; t) : Die Partikelbahnen der Tropfen können für eine kontinuierliche Visualisierung der Tropfenverteilung verwendet werden. Überschneidungen zweier Bahnen können als Indikator einer Tropfenkoaleszenz verwedendet werden.
In vorangegangenen Forschungsarbeiten wurde der
Zerfallskernel aus dem Modell an die Ergebnisse von Steinmetz et al.
[
Durch eine erweiterte Visualisierung wird eine Kombination des Tropfendurchmessers mit dem Phasenanteil erzielt, womit Aussagen über die Tropfenverteilung im dreidimensionalen Raum durch eine einzelne Abbildung, die den real sichtbaren Verhältnissen entspricht, getroffen werden können. Dies ist ist Abb. 6 dargestellt. Die Tropfen treten durch den unteren Abb. 5. Tropfengrößenverteilung dargestellt als Schnitt durch die Kolonne Statorring in das Kompartment ein. Im unteren Bereich des Kompartments sind die Tropfen auf die Mitte des Kompartments hin konzentriert, während sie im oberen Teil durch die Rührerwirkung verteilt werden. Das Vektorfeld ist in Abb. 7 gezeigt, wobei zur Übersichtlichtkeit die Anzahl der Vektoren reduziert wurde.
Die Visualisierung bietet die Möglichkeit der Filterung von Daten, z.B. extrem großer bzw. kleiner Tropfen und wird durch die Visualisierung der Zerfallswahrscheinlichkeit sowie der Koaleszenzwahrscheinlichkeit ergänzt.
Abb. 6. Darstellung der Tropfen sowie der Tropfengrößenverteilung
Die Simulationen der sich im Gegenstrom befindlichen
Zweiphasenströmung für die Miniplant Extraktionskolonne
vom Typ Kühni wurde mit dem CFD solver (FLUENT)
gekoppelt mit Populationsbilanzmodellen durchgeführt. Hierfür
wurde ein Eingruppenmodell, das One Primary One Secondary
Particle Modell, für die Zweiwegekopplung verwendet. Zur
Berücksichtigung von Koaleszenz und Zerfall der Tropfen
Abb. 7. Vektorfeld der kontinuierlichen Phase im Kompartment
wurde ein kombiniertes Modell, bestehend aus dem
Zerfallskernel von Martínez-Bazán [
Das bestehende CFD Modell wird durch weitere Koaleszenz- und Teilungskernel erweitert werden, um eine umfangreiche Basis für verschiedene Stoffeigenschaften sicherzustellen. Eine Implementierung von Massentransfer wird zunächst anhand des zweidimensional rotationssymmetrischen Modells der RDC Kolonne erfolgen und mit Literaturdaten sowie eigenen Messungen validiert werden. Eine Übertragung der Ergebnisse auf unterschiedliche Kolonnengrößen sowie ist in naher Zukunft geplant. Die Visualisierung wird durch die Möglichkeit zur Erstellung von Animationen bewegter Tropfen erweitert werden. 3D Partikelbahnen können durch eine StandardIntegrationsmethode eingebunden werden. Die Implementierung von Tropfenkollisionen und Tropfenteilungen in die Visualisierungsumgebung erfordern zusätzliche Modellierung sowie Implementierungen. Topologische Analysen der transienten Tropfengrößenverteilung sind dazu mit dem Morse-Smale Komplex sowie mit Reeb Graphs geplant.