Functional data analysis plays an increasingly important role in many public health and biomedical applications. In particular, such statistical methods provide tools for warping, comparing, averaging, and modeling data involving correlated measurements. In this paper, we present a new approach of regression analysis for classification of functional data. First, we analyze functional observations to capture their key spatio-temporal patterns by searching optimal warping and then estimate the regression function. Next, we investigate different standard representations from literature and estimate the appropriate regression model as a density function. Finally, an example of application involving patients with Rheumatoid Arthritis and healthy subjects as a reference group, is presented. 1
Analyser des données constituées de fonctions
(courbes, surfaces ou d’autres fonctions), au lieu de
vecteurs de scalaires, devient de plus en plus populaire
[
L’arthrite est une maladie polymorphe qui est souvent
caractérisée par un gonflement d’un ou de plusieurs
articulations. D’après [
Dans les diagnostics quotidiens, l’examen clinique est
utilisé pour reconnaître les modèles spécifiques et
les symptômes, et si nécessaire, il est confirmé par
d’autres tests, i.e. imagerie IRM et les tests du sang.
Malheureusement, de tels tests sont très chers pour les
patients et longs pour les médecins. Les types de
diagnostics mentionnés précédemment peuvent être
utilisés pour automatiser la classification de la maladie,
mais au stade précoce de l’AR, ces critères ne sont
pas habituellement satisfaisants. Dans les années
récentes, la recherche médicale a entraîné une nouvelle
compréhension de l’AR ; en particulier, il est indiqué
que les mesures de force de la main sont une technique
bonne et peu coûteuse pour une évaluation
préopératoire de personnes malades [
Dans ce travail, nous proposons un modèle de
régression fonctionnelle non paramétrique pour
diagnostiquer l’AR. Autrement dit, on cherchera d’abord à
apprendre une fonction de régression et à partir de cette
fonction utiliser un seuil pour faire la classification,
c’est à dire pour prédire la présence ou l’absence de
la maladie. A notre connaissance, l’analyse de la
régression sur des données fonctionnelles complètes sous
forme de signaux de force de la main, pour
diagnostiquer l’AR, n’a pas été précédemment étudiée. Un
modèle statistique approprié est nécessaire dans cette
application pour modéliser ces données fonctionnelles.
En particulier, nous nous intéressons à l’étude de la
variabilité au sein des groupes de personnes malades
et de personnes bien portantes en utilisant la
méthode de régression fonctionnelle complète. Une
difficulté au niveau de la main est le fait que les signaux
bruts des forces de la main ne sont pas alignés dans le
temps. Autrement dit, différents patients exerceront
leur force à des temps différents, et alors, il devient
important de découpler la quantité de force exercée
(amplitude de fonction) et combien de temps la force
a été exercée (phase de fonction). Ainsi, nous avons
besoin d’un modèle statistique global pour l’analyse
des données fonctionnelles de force de la main qui
permet la séparation des variabilités d’amplitude et de
phase. Le modèle récent dans [
Nous proposons une nouvelle représentation de la force de la main qui exploite le stade de la maladie comme une distance appropriée des observations de référence. Ce travail est inspiré en premier par les diagnostics classiques basés sur le maximum des mesures de la force (et éventuellement de la vitesse d’atteinte) qui entraînaient une énorme perte d’informations pertinentes pour la classification de la maladie d’AR. Par conséquent, les précisions de la classification décroissent significativement quand la variabilité entre les personnes bien portantes croît. Ainsi pour améliorer l’analyse statistique complète, nous prenons une approche d’analyse de données fonctionnelles pour analyser les fonctions de force de la main qui représentent l’effort continu, répétitif fait par les personnes. Cette nouvelle représentation utilisée pour la classification des personnes atteintes de l’AR apporte des informations complémentaires et indispensables sur l’état de la maladie. L’intensité de la force de la main est représentée par une fonction absolument continue x définie sur un intervalle I = [0; 1], pour simplifier. Comme montré dans la Figure 1, x(t) = 0 là où il n’y a pas d’effort : au début du test (t = 0), au temps de repos et à la fin du test (t = 1). On peut remarquer dès à présent que la variance des intensités des personnes bien portantes est faible, alors que celle des personnes malades est forte, dû aux changements progressifs causés par la maladie en évolution. Pour arriver à une telle conclusion, on a à définir un modèle approprié, qui fournit une distance appropriée et des outils d’analyses statistiques en vue d’obtenir des classifications précises (i.e. séparation du groupe des personnes bien portantes et du groupe des personnes malades). Une qualité importante d’un tel modèle est d’être capable de résumer efficacement et de capturer la variabilité dans les deux classes. De plus, on espère que la distance définie pourra fournir une mesure naturelle entre les signaux de la force de la main, permettant ainsi aux rhumatologues de quantifier le stade de gravité de la maladie d’AR, en se basant sur une personne bien portante (référence). Par la suite, nous décrirons les éléments nécessaires qui seront utilisés pour recaler les données fonctionnelles.
Supposons un échantillon de variables aléatoires fxi; i = 1; :::; ng, où xi est une fonction assez lisse définie dans un domaine unité de R, et fyi; i = 1; :::; ng une suite de variables binaires. yi = 0 si la personne est bien portante et yi = 1 si la personne est malade. xi et yi ne sont pas généralement directement observables, au lieu de cela nous observons leurs discrétisations, avec du bruit aléatoire supplémentaire. Ainsi les données observées sont des vecteurs finis (x1; y1); :::; (xn; yn). Nous supposons que ces erreurs sont gaussiennes de moyenne nulle et qu’elles sont indépendantes.
Supposons un ensemble de fonctions de force fxi; i =
1; :::; ng, notre but est de trouver un ensemble de
fonctions de reparamétrisation f i ; i = 1; :::; ng
(variabilité de phase) tel que les fonctions fxi i ; i = 1; :::; ng
soient alignées de manière optimale et alors ne varient
qu’au niveau des amplitudes. est une fonction qui est
définie par f : [0; 1] ! [0; 1]; _ 0g. Dans plusieurs
publications précédentes, c’est la norme L2 pénalisée
(norme L2 qui mesure l’écart entre deux fonctions plus
une pénalisation sur la fonction de reparamétrisation)
qui a été utilisée pour le recalage. Ces approches sont
connues de ne pas bien fonctionner pour les fonctions
de pinching (similaire au surapprentissage) et pour
l’asymétrie de solutions [
Le problème de phase et de séparation d’amplitude est lié aux fonctions de recalage non linéaire. Supposons x : [0; 1] ! R une fonction absolument continue et l’ensemble de toutes les frontières préservant le difféomorphisme de [0; 1] à lui même. Alors pour tout 2 , la composition x représente le temps recalé de la fonction originale x. La phase est plus qu’un concept relatif. Si une fonction de reparamétrisation est utilisée pour recaler la fonction x2 à x1, alors ce est nommé la phase relative de x1 à x2. Notons que l’inverse de ce est la phase relative de x2 à x1. En cas de plusieurs fonctions, comme dans le cas de notre application, les composantes de phase sont définies en cherchant une moyenne de fonction et alors en évaluant la phase relative de chaque fonction donnée par rapport à la moyenne. Voir Algorithme 1 pour plus de détails.
Data : fonctions xi.
Result : Moyenne de Fréchet f , fonction de reparamétrisation i , fonctions recalées xi . 1. Initialisation: calculer les qi correspondant à chaque fxig et q = n1 Pn
i=1 qi. 2. Recalage: Pour i = 1; 2; : : : ; n calculer
i = arg inf 2 k q qi k2. 3. Actualisation: Actualiser q en utilisant q n1 Pin=1(qi i ). Tant qu’il n’y a pas de convergence, on retourne à l’étape 2. 4. Centrer: Calculer la moyenne de la fonction de recalage et actualiser q en utilisant q q 1. 5. Recalage final: Répéter l’étape 2. Calculer x et xi = xi i .
Algorithme 1 : Algorithme Phase-Amplitude de séparation Ainsi, nous pourrons attribuer une amplitude et une composante de phase à chaque fonction d’un ensemble donné, et utiliser ces composantes pour définir les caractéristiques de l’AR nécessaires à la classification des personnes.
Supposons que nos fonctions xi sont de classe Ck, k 2 f0; 1; 2g. Pour le reste du papier, au lieu de xi, nous allons utiliser une variable globale notée zi, globale dans la mesure où elle sera utilisée pour différentes représentations comme l’intensité de la force zi = xi, sa vitesse zi = x_ i, son accélération zi = xi et la fonction de courbure correspondante zi = ci, pour la régression. Nous montrons dans la Figure 2 l’allure de ces différentes représentations fonctionnelles zi . Il est important de noter que pour un signal parfait, on s’attend à ce que l’intensité de la force soit nulle au début et à la fin de chaque test. Ainsi, nous comptons sur les dérivées et la courbure pour capturer la distance entre une observation donnée et une observation ayant un comportement normal. Etant donné que les observations réelles, même les groupes des patients, ne sont pas parfaits, nous ferons un test répétitif (presque périodique) pour améliorer cette partialité. Nous rappelons que notre objectif est d’utiliser les variables fonctionnelles d’intensité, ou une des représentations, pour prédire l’état d’une personne. Pour obtenir ceci, la méthode d’estimation de la régression fonctionnelle à noyau est utilisée. Notre analyse se fera sur des données déjà recalées, avec toutes les représentations citées précédemment. 3
Différents estimateurs non paramétriques de
régression ont été proposés dans la littérature quand la
variable aléatoire explicative zi prend ces valeurs dans un
espace de dimension finie. Il y a beaucoup de travaux
dans la littérature qui traitent les limites de ces
estimateurs et d’autres questions qui y sont liées, comme
la sélection de la fenêtre optimale dans les cas
dépendants et indépendants. Pour plus de détails, on peut
se référer aux [
Y = r(Z) + (1) D’après (1), r(zi) = E[Y jZ = zi]: Considérons d’abord E comme étant un espace d’Hilbert H muni de sa métrique associée d. zi étant de dimension infinie, nous allons la décomposer dans la base de fonction = ( 1(t); :::; p(t)) : zi(t) = Pjp=1 ij j (t) = iT avec i = ( i1; :::; ip).
Pour des raisons pratiques, au lieu de travailler avec les zi, nous allons travailler avec les coefficients i, qui sont de dimension finie, issus des décompositions des zi dans la base de fonction .
L’estimateur de type Nadaraya-Watson a été introduit
par Ferraty et Vieu [
Pj yj Kh(d( i; j ))
Pj Kh(d( i; j )) où le dénominateur est différent de zéro et Kh(d( i; j )) = K d( ih; j) . Ici K est une fonction noyau à valeurs réelles, h est le paramètre de la fenêtre (qui tend vers zéro quand n tend vers l’infini) et d est la métrique associée à H.
Puisque Y est binaire, on cherchera plutôt à modéliser g(Y ) = r(Z) + (2) (a) (b) (c) (d) où g est la fonction logit. La fonction réciproque de cette logit, appliquée à r^n(zi), renvoie des valeurs de probabilités auxquelles nous allons appliquer un seuil pour faire la classification.
Les taux de convergence presque sûre, sur un ensemble
compact de l’estimateur r^n, sont établis dans [
T i j k ikk j k ): La question qui se pose maintenant c’est quelles sont les valeurs optimales de h et de seuil qu’il faut prendre pour classer les malades et les personnes bien portantes. Dans la Figure 3, nous affichons des exemples de distribution des distances géodésiques sur la sphère et les h optimales retenues. Pour calibrer la performance de notre modèle d’estimation (régression fonctionnelle à noyau), nous considérons les critères : MSE (Mean Squared Error) et MCC (Matthews Coefficient Correlation).
• MSE: C’est l’erreur quadratique moyenne. Elle est définie par :
n
1 X(yi
n
i
y^i)2
avec n le nombre d’observation prédite et y^i la
valeur prédite de la i-ème observation.
• MCC: Basé sur les Vrais et Faux Positifs
(V P; F P ), et sur les Vrais et Faux Négatifs
(V N; F N ), il est généralement considéré comme
une mesure équilibrée [
T P
T N
F P
F N p(T P + F P )(T P + F N )(T N + F P )(T N + F N ) M CC ou coefficient de corrélation entre les valeurs observées et les valeurs prédites, renvoie des valeurs comprises entre -1 et 1. Plus la valeur est proche de +1, plus la classification est bonne. Plus elle est proche de -1, plus la classification est mauvaise. 4
Dans cette section, nous décrivons notre approche qui vise à classifier les observations dans le groupe des personnes malades ou dans celui des personnes bien portantes, en utilisant les signaux de force de la main. Les résultats présentés dans cette section sont les résultats moyens obtenus après 100 itérations. Chaque itération consiste à générer aléatoirement 1500 observations composées de personnes malades et de personnes bien portantes, dont 900 constituent la base d’apprentissage et de validation et les 600 restantes la base test. Nous utilisons un modèle de régression fonctionnelle avec différents critères et différentes représentations. Chaque observation est représentée par une seule fonction de force de la main, combinant les 3 tests consécutifs. De ces fonctions, dérivent différentes représentations utiles pour la classification. Notre modèle de régression fonctionnelle à noyau utilise le noyau gaussien. Ces paramètres sont choisis grâce à la base d’apprentissage et les optimaux sont retenus grâce à la base de validation, avec le critère M CC. Cela assure et améliore la précision de la classification. Avant de présenter les principaux résultats de ce travaux, nous montrons une comparaison d’une méthode proposée et une simple approche d’analyse de données fonctionnelles, qui utilise la métrique L2 entre les fonctions et qui ne tient pas en compte des variabilités de phase. Nous calculons la matrice de distance (b) (c) (d) pour chaque méthode et nous affichons la courbe Rappel/Précision dans la Figure 4(b). De cette figure, on peut dire que le fait de prendre en compte la variabilité de phase de signaux de force de la main est important et a le potentiel d’améliorer considérablement la performance de classification.
Nous évaluons maintenant la performance de notre modèle en calculant, après avoir prédit les variables réponses de la base test, les valeurs du critère utilisé (M CC).
Si on utilise la métrique L2 dans notre modèle, c’est avec la représentation courbure qu’on obtient un plus petit taux d’erreur, comme on peut le visualiser au niveau de la Figure 5(a). Par ailleurs, si on utilise la distance géodésique sur la sphère, notée ici par s, c’est la vitesse qui nous donne une meilleure classification des deux groupes, voir Figure 5(b). Nous pouvons aussi remarquer qu’avec la métrique s, c’est la représentation vitesse qui nous donne la meilleure valeur de spécificité (plus petite erreur de première es2000 1500 1000 500 00
5 (a) pèce) et la courbure nous donne une meilleure valeur de sensibilité (plus grande valeur de la puissance du test), voir Figure 6.
Comme nous l’avons énoncé précédemment, les personnes ayant un AR avancé montrent une décroissance significative de leurs forces de main durant les tests, comparés aux personnes bien portantes. Et cet aspect était le plus utilisé par les rhumatologues dans leurs diagnostics. Cependant, une telle procédure n’est pas applicable pour toutes les personnes malades à cause de différents facteurs comme l’âge, le genre, et plus important encore, le niveau de sévérité de la maladie. Les patients ayant un niveau d’AR moyen étaient difficiles à détecter avec le diagnostic classique. Ainsi il est important de rappeler que le fait d’utiliser les mesures continues de force de la main est une méthode bénéfique, rapide et facile, et plus encore, il est très efficace pour diagnostiquer le degré de la maladie. De plus, les informations extraites de la force de la main ont une interprétation clinique naturelle et donc plus intéressantes pour les médecins. 5
Ce travail présente une nouvelle approche permettant de caractériser les données fonctionnelles pour la classification de l’Arthrite Rhumatoïde (AR). Cette méthode a l’avantage d’utiliser les courbes recalées et de capturer ainsi plus d’informations des signaux, contrairement aux diagnostics classiques utilisés précédemment. Une fois que les courbes sont recalées, différentes représentations fonctionnelles ont été utilisées et la fonction de densité conditionnelle a été utilisée pour estimer la régression. Que ça soit la métrique d ou s, le fait d’utiliser la représentation standard (courbes initiales) ne nous permet pas d’avoir une meilleure classification. Ceci est dû au fait que la représentation standard ne capte pas bien la variabilité des différences de forces émises par les personnes. D’où l’importance d’utiliser d’autres représentations fonctionnelles, comme la vitesse, l’accélération ou la courbure. On voit par exemple qu’en utilisant la métrique d (L2), c’est la courbure qui nous donne la meilleure classification. Et si on utilise la distance géodésique sur la sphère (s), c’est la vitesse qui nous donne les meilleurs résultats de classification. Ces résultats expérimentaux nous montrent que les diagnostics utilisés précédemment sont insuffisants et que notre modèle est très prometteur pour ce sujet.